Intégrale et point fixe

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 18:33

C'est effectivement très court avec quelques résultats intermédiaires. Ces derniers sont classiques dans le supérieur, un peu (beaucoup...) moins au lycée.

Benekire > Je te laisse plancher, si tu n'y arrives pas je te donnerai le même indice que j'ai donné aux deux élèves.

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 18:35

je viens de tourner en rond 10 mn ... et la question à laquelle je veut répondre en premier c'est : y a -t-il des solutions ? Parce que "de tête" je ne vois absolument aucune fonction qui vérifie cette relation ...

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 18:36

Non effectivement, il n'y a aucune solution. La question est alors : Pourquoi?

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 18:42

Pourquoi ... alors pour l'instant j'en sais rien. Mais bon, il faut que je me serve de notre relation.

fof(x)=-x ... je réfléchis.

Et je veut bien l'indice stp :zen:

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 18:46

Indice : Une fonction continue et ne prenant au plus qu'une fois la même valeur est strictement monotone.

Il est évident que c'est un indice à démontrer :D

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 18:50

même si je sais pas trop comment démontrer rigoureusement ton indice, tu m'as donné une grosse idée avec les histoires de stricte monotonie et donc de bijection ( grâce à la continuité) . Il me semble qu'il faille creuser par la :hein:

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 18:58

Alors je te laisse creuser :lol3:

N'hésite pas si tu as besoin d'une pelle plus grosse que celle que je t'ai donné, bien que normalement, elle devrait être suffisante !

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 19:03

Si tes élèves ont réussis avec cette pelle alors je ne veut pas d'autre pelle !!!

Question 1 : On a combien de temps en colle ?
Question 2: J'ai le droit à certains résultats HP mais que je connais ?

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 19:11

en fait en réfléchissant sur une remarque que tu as fait, j'ai cherché les outils qui faisaient intervenir fof et j'ai trouvé :

fof bijective <=> f bijective

alors je sais pas trop trop pour le moment comment l'utiliser mais déjà, j'ai le droit ?

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 19:25

je viens de capter ton indice et j'ai :
-x bijective donc fof bijective soit f bijective , or la composée de deux applications strictement monotones est croissante et -x est décroissante.
Sauf erreur.

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 19:27

Question 1 : la khôlle dure une heure et en général j'ai le temps de donner 3 exercices, 2 à ceux un peu plus lents.

Question 2 : Eh bien en fait, la résolution que moi j'ai en tête et celle que les élèves ont trouvé utilisent deux résultats "hors-programme", celui que je t'ai donné et celui que tu mentionnes. Bien entendu, la preuve de ces deux derniers est attendue, c'est d'ailleurs la seule difficulté de l'exercice, ça et le fait de trouver les bons outils.

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 19:28

benekire2 a écrit:je viens de capter ton indice et j'ai :
-x bijective donc fof bijective soit f bijective , or la composée de deux applications strictement monotones est croissante et -x est décroissante.
Sauf erreur.

C'est bien ça, reste à montrer les deux intermédiaires :lol3:

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 19:30

au niveau du temps je suis out ...

Je vais manger et je fini la preuve fof bijective => f bijective.

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 19:31

benekire2 a écrit:au niveau du temps je suis out ...

En même temps, on est sur un forum, c'est un peu différent d'une khôlle :lol3:

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 19:47

même, déjà en kholle je serais naturellement plus stressé, et d'aucune façon j'aurais trouver la solution. Enfin, je pense. Tout réside dans un coup de chance en général quand je résous tes problèmes ...

par **Nightmare** » 07 Mar 2010, 20:01

Certes sauf qu'en khôlle je suis derrière les élèves pour les aider quand ils bloquent. Il y a un échange permanent pendant une khôlle.

par **benekire2** » 07 Mar 2010, 20:28

Sinon, il me faut juste montrer que fof bijective <=> f bijective parce que j'utilise pas ton résultat il me semble ...
je dis que -x est bijective donc fof est bijective ... j'ai le droit d'être aussi direct ?

Donc, pour la démo de fof bijective <=> f bijective
la réciproque est évidente. Il me reste a montrer que fof bijective => f bijective

Donc : fof bijective <=> fof injective et fof surjective

Alors montrons deux résultats qui permettrons de conclure :
f de I dans J et g de J dans K
(1) gof injective => f injective
(2) gof surjective => g surjective

(1) prenons a et b tels que f(a)=f(b) on a donc gof(a)=gof(b) et par injection de gof on a a=b d'où f est injective.

(2) pour tout b de K il existe a dans I tel que b=gof(a) car gof est surjective donc b=g(f(a)) ie f est surjective car f(x) est dans J et b dans K.

De là on peut particulariser g à f et on a :
(1) fof injective => f injective
(2) fof surjective => f surjective

et on fini la démo ...

par **Matt_01** » 07 Mar 2010, 20:36

Je pensais à une autre démonstration en fait !
Soit g=|f|. Si gAlors il existe c tel que g(c)=c par continuité.
Si f(c)=c alors f(f(c))=f(c)=c qui est différent de -c (on s'est placé sur R*).
Si f(c)=-c alors f(f(-c))=f(-c)=-c d'après l'hypothèse sur f.
Mais on vient de démontrer auparavant qu'il ne peut y avoir de point fixe.
Donc il n'existe pas de telle f.

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 11:43

Jolie :happy3:

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 12:01

L'idée me semble effectivement trés joli, mais la "mise en place" me semble un peu "short". Si j'ai bien compris le raisonement, on a :
1) L'hypothèse |f(x)|<|x| pour tout x de R* conduit à une contradiction : O.K. mais il y a un truc à dire concernant l'inclusion de f(R*) dans R*
2) L'hypothèse |f(x)|>|x| pour tout x de R* conduit à une contradiction : O.K. (même remarque)
3) Il existe donc x1 et x2 dans R* tels que |f(x1)|>=|x1| et |f(x2)|<=|x2| et on utilise le T.V.I. pour dire qu'il existe c tel que |f(c)|=|c|.
Sauf que pour ce dernier argument, comme R* n'est pas connexe, je vois pas trop ce qui prouve que c est non nul, et si c=0, y'a pas trop de contradiction...

Ou alors, j'ai pas bien suivi la série des arguments de Matt_01 (fort possible...)

Intégrale et point fixe

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