Intégrale et point fixe

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 12:06

Ouf, cette fois-ci, c'est pas moi qui prend !

Cela dit effectivement, le cas c=0 me parait litigieux mais je crois qu'il se règle rapidement.

Edit : Ou pas.. je ne crois pas qu'on puisse le contourner

par **gigamesh** » 08 Mar 2010, 12:09

M'ouais,
j'ai une démo plus élémentaire, en se posant la question "antécédents de zéro" ? "image de zéro" ? et en utilisant le fait qu'une fonction continue qui ne s'annule pas sur un intervalle garde un signe constant sur cet intervalle.

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 12:13

gigamesh a écrit:M'ouais,
j'ai une démo plus élémentaire, en se posant la question "antécédents de zéro" ? "image de zéro" ? et en utilisant le fait qu'une fonction continue qui ne s'annule pas sur un intervalle garde un signe constant sur cet intervalle.

Ben, poste la, au lieu d'en venter ses mérites :lol3:

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 12:25

Nightmare a écrit:Ben, poste la, au lieu d'en venter ses mérites :lol3:

Surtout que pour venter les mérites d'une méthode, il vaudrait mieux qu'elle soit un peu rapide la méthode, style courant d'air, quoi... :zen:
Mais, peut être que gigamesh ne désire pas éventer sa méthode...

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 12:29

Ah moins que tout ceci ne soit qu'une invantion?

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 12:37

Non, ça m'étonnerait que ce ne soit que du vant, et qu'il ne fasse celà que pour se venter.

par **gigamesh** » 08 Mar 2010, 12:37

Bah je veux pas casser le suspens non plus :we:

Bon voila : on cherche l'image de zéro : elle est unique (oeuf corse) et elle vaut mettons k.
Alors f(0)=k, f(f(0))=-0=f(k) donc k est aussi un antécédent de zéro.

Intéressons nous aux antécédents de zéro.
Soit x0 un réel tq f(x0)=0, s'il en existe ; alors f(f(x0))=-x0=f(0)=k.
Donc un antécédent de zéro, s'il en existe, est forcément égal à l'opposé de l'image de zéro.

Par conséquent, zéro a au plus un seul antécédent, qui est nécessairement -k.

Bon.
Ensuite f(f(k))=-k et f(f(k))=f(0)=k donc k=-k, k=0, f(0)=0 et f ne s'annule pas ailleurs que en 0 donc garde un signe constant pour x>0 et un signe constant pour x<0 par continuité.

On a 4 cas pour le signe de f : -0- -0+ +0- +0+ et on finit par l'absurde !

EDIT : il ya un couac (un raisonnement circulaire k=0 => k=0)

Bon je verrai ça ce soir après mes cours, c'est peut-être récupérable.

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 12:46

A force d'inverser les e et les a je risque de vous tennir responsable de ma movaise aurtografe ...

:zen:

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 12:47

Ca roule impec,
En fait, c'est "un peu" comme la preuve "classique" sauf que l'on remplace la question de la monotonie de f sur R tout entier (i.e. f(x)>f(x') ?) par la question plus simple f(x)>f(0) ?
Effectivement, c'est... plus simple.

P.S. d'ailleurs, c'est à peu prés comme ça (T.V.I.) qu'on procède pour montrer que f continue bijective de R->R implique f monotone.

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 12:48

Je tiens quand même a souligner que la soluce que j'ai donnée ( bien aidé par nightmare ...) elle est franchement pas longue !

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 12:50

benekire2 a écrit:Je tiens quand même a souligner que la soluce que j'ai donnée ( bien aidé par nightmare ...) elle est franchement pas longue !

Elle n'est pas longue... si on considère comme acquis que f continue bijective => f monotone (ça fait partie du bagage "normal" d'un terminale ça ?)

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 12:55

Ben314 a écrit:Elle n'est pas longue... si on considère comme acquis que f continue bijective => f monotone (ça fait partie du bagage "normal" d'un terminale ça ?)

Rolala pas dit deux mots que je me fais taper sur les doigts ...

Personellement si je me souviens bien, je l'avais démontrer au moment ou j'avais fais la continuité ...
Ou alors peut être c'était un petit HP comme ça au passage ... Je vais chercher voir si je l'avais fait !

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 12:58

Tout compte fait, il n'y a que l'implication directe qui est "officiellement" au programme.

Pour l'implication réciproque elle est HP mais, je pense qu'elle est traitée dans de nombreux lycées ...

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 13:06

benekire2 a écrit:Personellement si je me souviens bien, je l'avais démontrer au moment ou j'avais fais la continuité ...

Comment as-tu fait?

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 13:11

benekire2 a écrit:Rolala pas dit deux mots que je me fais taper sur les doigts ...

Moi="prof"="chiant"....

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 17:41

Graphiquement, on peut voir une preuve assez simple de Continue + injective => strictement monotone.

Si la fonction n'est pas strictement monotone, on va pouvoir trouver a < b < c tels que f(a) < f(b) et f(c) < f(b) (quitte à prendre -f, on peut bien considérer les inégalités dans cet ordre)

Si f(c) > f(a), par continuité, f va prendre toutes les valeurs entre f(a) et f(b) sur [a,b], en particulier elle prend la valeur f(c) une fois sur [a,b], donc en un réel différent de c (puisque c > b) ce qui est contradictoire avec l'injectivité de f.

Si f(c) < f(a), même problème avec f(a) : f va prendre sur [b,c] toutes les valeurs entre f(b) et f(c), en particulier elle prend la valeur f(a), ce qui est une nouvelle fois contradictoire.

:happy3:

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 17:55

oui, si je me souviens bien, je prend a Contradiction.

Edit: C'est pareil que toi nightmare ( je n'avais pas lu )

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 17:57

Ben314 a écrit:Moi="prof"="chiant"....

Mais non mais non ^^ Tu fais pas ça pour mon mal

par **Nightmare** » 08 Mar 2010, 17:59

benekire2 a écrit:oui, si je me souviens bien, je prend a Contradiction.

Edit: C'est pareil que toi nightmare ( je n'avais pas lu )

Presque, il faut quand même faire attention où l'on met f(c).

par **benekire2** » 08 Mar 2010, 18:03

Pourquoi ? Ca ne marche pas comme ça ?

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