Integrale methode direct et par partie

[Tidus323]

Bonjour, j'ai un probleme avec certaine integrale , lorsque il faut les faires par primitivation direct ,par exemple

l'integrale de x*sinx ==> je ne sais pas si c'est possible par la methode direct(methode direct c'est avec les formule du genre f^x*f'= f^x+1/x+1)
je voudrais savoir si c'est possible meme si c'est 2 "fonction" n'ont aucun rapport

j'ai aussi une autre integrale pour l'examen et qui celle la est par partie (==> f'g= fg - integrale de fg' dx) mais je n'arrive pas a choisir quelle fonction pour f et quelle pour g' pour que ce soit plus facile , merci de m'aider


integrale de 3sinx * cosx
------
(radicale de)1-2cosx


Merci d'avance , si vous ne comprenez pas bien ma façon d'ecrire dite le moi

[uztop]

Bonjour,

pour intégrer par la méthode "directe", il faut reconnaitre une forme du type:
u'(x)*u(x)^n qui s'intègre en (u(x)^(n+1))/(n+1)
ou u'(x)/u(x) qui s'intègre en ln|u(x)|

Ensuite, pour une IPP, il faut intégrer l'expression qui va se simplifier en l'intégrant et dériver celle qui ne va pas se compliquer en la dérivant. Qu'est ce qui se simplifie par l'intégration ? Justement les expressions du type que j'ai donné au dessus. Qu'est ce qui ne se complique pas en dérivant ? Les polynômes (qui se simplifient vu qu'ils perdent un degré) et les équations trigo qui restent des équations trigo, donc de même complexité. Evidemment, ce que je dit ici (se simplifie, se complique) n'est pas vraiment une notion mathématique; c'est juste pour donner l'idée.

Dans ton intégrale, il faut chercher quelque chose de la forme u'(x)*u(x)^n
On peut écrire 1/racine de (1-2cosx) = (1- 2cos x)^(-1/2)
Est ce que tu arrives à continuer avec ça ?

[Tidus323]

je suis sur une piste 3sinx * cosx /(radicale de)1-2cosx , je vais faire sinx/radicale 1-2cosx* cosx car après ça deviendra l'intégrale de arc sin ou cos [f(x)] * cos x et je pense que la ca deviendra plus facile je vais voir dans cette vois

[uztop]

oui, c'est bien comme ça qu'il faut diviser
sinx/radicale 1-2cosx sera f' (la fonction qu'il faut intégrer)
cosx sera g (la fonction à dériver)
N'oublie pas le 3 qui est devant.

Par contre, attention, la primitive de sinx/radicale 1-2cosx n'est pas arcsin., en fait c'est de la forme u'*u^n (comme je t'ai écrit tout à l'heure, 1/(radicale 1-2cosx) = (1-2cosx)^(-1/2)

[Tidus323]

a oui merci , je confond toujours ces 2 choses.

[Tidus323]

ok j'ai un problème avec avec les chiffre devant l'intégrale (intégrale de est representer par | ) j'explique:

3| (sinx/1-2cosx)*cosx

j'ai utiliser ce que tu ma dit :

3/-2 | -2sinx*(1-2cosx)^-1/2 * cos x

voila j'arrive a ca maintenant je choisis f' et g

f' = -2sinx / radicale de 1-2cosx ==> voila ce qui me pose problème c'est le 3/-2
du dessus je c'est pas quoi faire avec et ou le mettre et quand

[uztop]

le chiffre qui est devant ne gêne pas, laisse le tout simplement.
Par contre, il y a une erreur de calcul dans ce que tu as écrit:

Si f'(x) = sinx /sqrt(1-2cosx)
f(x) = sqrt(1-2cos(x))
sqrt signifie raciné carrée.
f' est de la forme 1/2 * u'*u^n avec n =-1/2 donc n+1=1/2
u(x) = 1-2cos(x)
u'(x) = 2sin(x)
La primitive est donc 1/2 * u^(n+1)/(n+1) = u^(n+1)
= sqrt(1-2cos(x))
Tout ça pour dire, qu'il ne faut pas diviser par -2 (le facteur devant c'est 3 et pas -3/2)

[Tidus323]

je vais t'expliquer mon raisonnement

Formule utilisé : | f^x * f' = f^x+1/x+1

3| (sinx/sqrt 1-2cosx)*cosx

pour que la formule soit bonne il faut f^x * f';f^x etant (1-2cosx)^-1/2 et f' étant sinx , mais si on dérive 1-2cosx on aura pas sin x mais 2 sinx je rajoute un 2 devant la fonction et a l'extérieur je fait 3 * 1/2 pour faire comme si je n'avait pas ajouté de 2 devant sinx alors 3/2 | 2sinx*(1-2cosx)^-1/2 * cos x ( avec les corrections merci)

Pour le choix de f' et g je ne m'occupe pas du 3/2 ?? je prend directement f'=2sinx*(1-2cosx)^-1/2

[uztop]

J'ai compris d'où vient ton 2, mais il y a une erreur dans ton raisonnement: essaye de dériver sqrt(1-2cosx), ça donne:
sin(x)/sqrt(1-2cos(x))
C'est ce que j'essaye d'expliquer dans mon post précédent (je sais ce n'est pas très clair), mais je pense qu'en redérivant tu vois qu'il ne faut pas diviser par -2.
Sinon, tu ne t'occupes pas du 3 qui est devant:
La dérivée de k*u(x) c'est k*u'(x), pareil pour les primitives; les facteurs multiplicatifs ne gènent absolument pas.

[Tidus323]

parce que si je prend pas compte du 3/2 l'intégrale aura pas le même résultât j'ai déjà calculé sans prendre en compte le 3/2 et j'ai obtenu = 2cosx radicale 1-2cosx + 2((1-2cosx)^3/2)
-------------
3

[Tidus323]

ok j'ai obtenue comme reponse : (2cos x radicale 1-2cosx ) + (2(1-2cos)^3/2)/3

en choisisant comme f' = 2 sinx/radicale 1-2cosx ; f = 2radicale 1-2cosx
g = cosx ; g'= -sinx

j'ai suivie la formule f'*g dx = f*g - | f*g'

[Tidus323]

a ok je vois ce que tu veut dire , j'ai complètement tout mélanger,merci

[Tidus323]

a ok merci j'ai tout confondue

[Tidus323]

voila enfin trouver grâce a toi j'espere

3| (sin x /radicale 1-2cos x) * cos x

f' = sin x /radicale 1-2cos x et f = comme tu l'as dit radicale 1-2cos x
g= cos x et g'= -sin x

f'*g dx = f'*g - | f*g' donc :

=Radicale 1-2cosx * cos x - | radicale 1-2cosx * -sinx
=cos x radicale 1-2cos x + 1/2|2sin radicale 1-2cosx
=cos x radicale 1-2cos x +1/2 * ((1-2cos x )^3/2)/3/2 (f^x*f'= f^x+1/x+1)
=cos x radicale 1-2cos x +1/2*2/3((1-2cos x )^3/2)
=cos x radicale 1-2cos x +1/3*((1-2cos x )^3/2)
= " " " +((1-2cos x )^3/2)/3


voila j'espère que c'est ça

[uztop]

oui mais tu as oublié le 3 qui était devant

[Tidus323]

et je fait comment pour le rajouté svp ?

[uztop]

c'est juste un facteur multiplicatif, il suffit de multiplier le résultat par 3

[Tidus323]

ok ca devient donc
= 3 *(cos x radicale 1-2cos x) +3 *(1/3*((1-2cos x )^3/2))
= 3cos x radicale 1-2cos x +((1-2cos x )^3/2)

[uztop]

oui, c'est ce que j'ai trouvé aussi

[Tidus323]

ok merci beaucoup, tout a l'air de tenir ,bon raisonnement merci, ça fait plaisir.Je comprend mieux cette méthode maintenant.