Inéquations & Démonstration

[zeyniba]

Bonjour :we: ,
Voilà je butte sur un pb de démonstration :
Nous disposons des réels a, b et c tous strictement positifs :
et il faut demontrer que

(a+b)/(a²+b²) + (b+c)/(b²+c²) + (c+a)/(c²+a²) =< 1/a +1/b+ 1/c

je me suis tout d'abord dit qu'il suffisait de prouver que la différence entre ce qui se trouve à gauche et à droite de 'linégalité soit =< O

j'ai donc tout fait passer à gauche de l'inégalité et tenté de mettre sous même dénominateur , duquel je me suis débarassé en le multipiant par zéro (sans changer de sens l'inégalité car le denom est >= o)... cependant il reste une très longue inéquation , et je me demandes si je ne me suis pas égarée .. J'ai l'impression que je n'utilise pas la bonne méthode ... :help:

Je suis à l'affut de toute piste (raisonnable lol)

Merci


Ps : (abc)[ (a+b)(b²+c²)(a²+c²) + (b+c)(a²+b²)(a²+c²) + (a+c)(a²+b²)(b²+c²)] - (a+b+c)(a²+b²)(b²+c²)(a²+c²) =< 0

PS : je suis une mise à niveau pour entrer dans le supérieur l'an prochain en filière scientifique , voilà pour le niveau)

[LN1]

Bonsoir,

ta méthode était légitime mais, comme tu le dis toi-même, l'expression obtenue est peut-être trop lourde.

C'est un exercice avec astuce
démontre d'abord plus simplement que


tu en déduiras deux autres inégalités du même type et tu pourras en faire la somme.

Bon courage

[zeyniba]

Merci LN1

Je m'y met :++:

[zeyniba]

Alors voilà mon raisonnement :

si a>o et b>o

a>1/a et b>1/b

a/a² =1/a

a/(a²+b²) = a+b / a²+b² + b+c/b²+c² + c+a/c²+a² =< 2(1/a +1/b +1/c)

je retrouve presque l'inegalité à prouver mais j'ai le X2 en trop a droite , et je comprend pourquoi vous m'avez suggerez de prouver


je dois donc remonter à
a/(a²+b²) + b/(b²+a²) =< 1/a + 1/b


a/(a²+b²) + b/(b²+a²) est-il toujours inferieur ou égal à 1/2.(1/a+1/b ) ??

N'ai-je pas grillé une étape ??

[LN1]

tes majorations sont trop grossières

simplifie la fraction du membre de droite. Tu pourras ensuite simplifier à droite et à gauche par (a + b).
puis passer aux inverses et l'inégalité que tu auras à prouver sera simple

[zeyniba]

c'est à dire :

(1/a+/b)/2 = (a+b)/2ab

(a+b)/a²+b² =o pas de changement de signe

1/a²+b² = 2ab

(identité remarquable)

a² -2ab +b²=> 0

a² -2ab +b²= (a-b)² >=0 vrai car un carré est tjr positif ...


Donc nous avons demontrer que a+b / a²+b² =< (1/a +1/b )2

de mm b+c / b²+c² =< (1/b + 1/c)/2

c+a / c²+a² =< (1/a+1/c)/2

En additionnant on obtient :

a+b / a²+b² + b+c / b²+c² + c+a / c²+a² =< (2/a +2/b +2/c) /2

a+b / a²+b² + b+c / b²+c² + c+a / c²+a² =< 1/a +1/b +1/c

Ce raisonnement ( si je n'ai pas commis d'erreur(s) ) tient la route ..

mais comment penser à



cela vient-il avec l'experience/ l'entrainement ou faut-il une part d'ingéniosité ?

[zeyniba]

Quoiqu'il en soit , un grand Merci :++: pour votre aide