Inequation du troisieme degré

[Fanatic]

Résoudre cette inéquation, c'est déterminer les valeurs de qui rendent le quotient strictement positif.
La méthode générale a été énoncé par mes collègues : factoriser au maximum numérateur et dénominateur pour étudier le signe du quotient suivant les valeurs de car on sait facilement étudier le signe d'un produit ou d'un quotient (c'est pour cela que l'on factorise).
Quand on souhaite factoriser un polynôme de degré 3, il faut soit faire apparaitre une identité remarquable de degré 3 ou bien trouver une racine évidente de ce polynôme et factoriser ce dernier à partir du binôme . Cette factorisation peut se faire par identification des coefficients de même puissances de (ou bien par division de polynôme, méthode vue au niveau BAC+1).
Ici la factorisation est aisée.
Considérons le numérateur comme un polynôme de degré 3 de la forme générale . Or le coefficient constant , donc on peut factoriser ce polynôme par . C'est une première factorisation. On obtiendra donc le produit de par un trinôme du second degré.
Factoriser un trinôme du second degré peut se faire soit par l'application de la 1ère ou 2ème identité remarquable ou en utilisant le discriminant du trinôme ou encore en trouvant une racine évidente du trinôme et en déduire la 2nde racine par la formule de la somme ou du produit des racines par exemple.
Alors pour , si alors est une racine évidente du trinôme (cours de 1ère S).
Alors, la 2ème racine est donnée par exemple par le produit des racines : .
A partir de ça, demande à ton fils de trouver la 2ème racine. Cette méthode (racine évidente + formule du produit) change un peu du discriminant et est bcp plus rapide car il y a moins de calculs...
Le numérateur se factorise donc en , ().
Le dénominateur est une forme "semi factorisée" : un produit d'un binôme de degré 1 par un trinôme de degré 2. On peut essayer de factoriser le trinôme. Etant donné la forme de ce trinôme par rapport à la forme générale on peut penser à la 3ème identité remarquable, or donc on ne peut pas factoriser ce trinôme qui est en l'occurrence strictement négatif quelle que soit la valeur de .
Le numérateur étant factorisé au maximum, le dénominateur aussi, on peut étudier le signe de chacun des facteurs et en déduire le signe du quotient. On utilise le cours sur le signe d'un binôme, d'un trinôme puis la règle sur le produit de signes.
J'espère que ton fils aura bien compris la méthode générale pour résoudre une inéquation quotient.
J'attends sa réponse...
Merci.

Bonjour,

L'inéquation, c'est bien :
\frac{x^3+2x-3x^2}{(3-x)(-x^2-2)} > 0
Ce qui est à droite du symbole "/" est au dénominateur et les puissances sont bien placées?

Pour commencer il faut factoriser le numérateur puis faire un tableau de signe.
Quel est le niveau de votre fils?

[apjsl]

Bjr

Pour le numérateur (x3-3x2+2x), il y a une méthode plutôt simple: les racines évidentes <=> on remplace x successivement par les valeurs -2;-1;0;1 ou 2 et on doit trouver 0. Si on trouve 0 alors sa signifie qu'on peut factoriser par (x-x1) [ou x1 est une racine évidente]

Les racines évidentes du numérateur sont 0;1 et 2 Donc le numérateur est un produit de trois facteurs: x (x-1) (x-2)

Ensuite on fait le tableau de signes pour chaque "morceau" du numérateur et du dénominateur et on en déduit le signe de la fonction en faisant attention à ne pas oublier les valeurs interdites

Voila je pense que c'est la méthodse la plus simple

[Fanatic]

J'ai déjà parlé des racines évidentes. Mais pourquoi tu donnes la réponse bon sang ! C'est anti-pédagogique ! C'était le point de démarrage délicat car l'étude de signe et simple. Il a plus rien à faire maintenant.:marteau:

[Flodelarab]

il y a une méthode plutôt simple: les racines évidentes

mdr. C'est ce que Fanatic a dit. Mais comme il a noyé son propos dans un pavé... (comme d'hab).

Fanatic, tu as fait une faute de signe. La division polynomiale est niveau BAC-1 et non BAC+1.

Sinon, pour l'exo lui même, je rappellerais que:
- X - = +
+ X - = -
- X + = -
+ X + = +

[Fanatic]

Tu es certain que la division de polynôme est vue en Term ? Je l'ai étudié en DEUG moi...

[Flodelarab]

Ah non. En première. En même temps que le chapitre sur les polynômes.

[Fanatic]

Il est maintenant évident que Olibara ne se connecte que rarement. On ne peux pas jouer sur le travail et l'enseignement question-réponse immédiate. C'est pourquoi j'ai donné une réponse complète pour qu'elle puisse l'étudier tranquillement et nous interroger plus tard ou présenter ensuite ses résultats.:++:

[Fanatic]

On ne parle pas de la même chose, je reprends le programme de lycée cet été et j'ai fais ce chapitre à fond, et je n'ai pas vu la division de polynôme... Tu dois faire erreur... Si jamais tu peux scanner le pavé qui traite ça, ça me ferai plaisir de le voir.
Je te remercie.

Ah non. En première. En même temps que le chapitre sur les polynômes.

[oscar]

Re Elles servent à isoler x³ +2x


Tout change...
'[(x³+2x) (3-x)(-x²-1) - 3x²] / ( 3-x)( -1-x²) >0

C' est sans doute une mauvause voie mais c' était à envisager..