Inéquation

[LjjMaths]

Bonjour à tous,
Comment puis je montrer que :

Soient , , des réels positifs



J ai réussi à montrer avec l'inégalité triangulaire que lorsque , et sont positifs alors

Mais je pense que ça sert pas à grand chose

Merci d avance !

[aviateur]

il y a des problèmes dans la question . si c=-a par exemple??

[WillyCagnes]

br,

avec des réels a, b, c >0

[LjjMaths]

Oui pardon je suis dsl il faut que les rèels soit positifs! Excusez moi

[aviateur]

il y a toujours un problème remplacer (a,b,c) par (1,1,1/2) et puis par (1,1,2)

[Lostounet]

Serait-ce plutot:

a^2/(b + c) au lieu de a^2/(a + c) ?

[Lostounet]

Serait-ce plutot:

a^2/(b + c) au lieu de a^2/(a + c) ?

Dans tous les cas, voici ce que j'ai tenté pour le moment:


On peut appliquer le lemme de Titu (qu'on obtient par Cauchy-Schwarz, exemple voir ici https://brilliant.org/wiki/titus-lemma/ ... lized-form juste avant Generalized form), qui permet de prouver que pour tous nombres positifs a, b, et c:


Et selon si c'est a^2/(b + c) ou a^2/(a + c) dans le membre de gauche, on essaye de manipuler la somme restante et de la comparer à ,
sans oublier que ...

[LjjMaths]

Oui en effet encore dsl ç est bien
Je suis vraiment pas douer excusez moi :-S

[LjjMaths]

En tout cas merci lostounet je connaissais pas Cauchy Schwartz du coup j'avais essayé avec l'inégalité triangulaire mais Ca mène à rien

[zygomatique]

salut

multiplions par a + b+ c le premier membre :





il reste à montrer que

...

[LjjMaths]

D'accord, merci bcp

[Ben314]

Salut,
Perso, j'ai toujours pas compris quelle était l'inéquation à résoudre :
Le premier post. donne comme premier terme , puis Lostounet demande s'il ne s'agirait pas plutôt de et là, LjjMaths répond :
OUI (<= qui semble confirmer ce que dit Lostounet),
c'est bien (<= qui infirme ce que vient de dire Lostounet...)

Bref, est-ce qu'au bout d'une page de thread il serait possible d'avoir l'énoncé correct du problème ?

[LjjMaths]

Oui je sais ce n'est pas très clair, j'ai modifié mon premier message
L'inequation à montrer est bien :


Pour , et des réels positifs

[Ben314]

J'ai un peu regardé, mais pour le moment, je suis sec.

Vu que l'inéquation est homogène, en tout cas, un truc qui mange pas de pain, c'est de supposer que et donc, avec cette hypothèse, il faut montrer que qui est éventuellement plus simple sous une autre forme, par exemple

[Lostounet]

Voici ce que j'ai fait pour le moment (mais ça n'a pas encore abouti...)
Donc vous êtes pas obligés de lire le pavé

Je vais utiliser les lemmes suivants qu'on peut prouver séparément plus tard (pas trop dur)
Dans tout ce qui suit, a b et c sont positifs

Lemme 1(Titu)


Lemme 2 (Inégalité de Nesbitt) (Bon finalement je ne l'utilise pas)


Lemme 3 (majoration standard)


Appliquons le lemme 1:
On sépare le membre de gauche en deux parties:



Cette inégalité ressemble beaucoup à celle que l'on veut démontrer. Cependant, nous devons comparer le terme entre parenthèses, qui est
avec

On regarde la différence des deux:


On peut affirmer avec le lemme 3 que:
puis en divisant les deux membres par , cette différence fait:



Cela signifie que





Si on peut supposer (a + b + c) = 1 (pourquoi Ben???) , alors on peut tenter une étude de fonctions:
f(a,b,c) = b^2/(a + b) + c^2/(b+c) + a^2/(a + c)

dont les minima semble atteints en a = b = c, pour lesquels cela vaut 3/2.

[Ben314]

Si on peut supposer (a + b + c) = 1 (pourquoi Ben???)

Parce que l'inéquation est homogène (bis et répéta...) :
La fonction est telle que donc pour montrer que , il suffit de montrer que pour un certain .
Donc par exemple,
- Si tu prend , ça signifie qu'il suffit de montrer le truc dans le cas où .
- Si tu prend , ça signifie qu'il suffit de montrer le truc dans le cas où .
- Si tu prend , ça signifie qu'il suffit de montrer le truc dans le cas où .
- Si tu prend , ça signifie qu'il suffit de montrer le truc dans le cas où .
Etc, etc...

[Lostounet]

Merci, j'avais bien lu ton "homogène" mais j'avais pas bien compris.
C'est mieux maintenant, pratique ce truc...

Et sinon vois-tu des énormités dans mon post précédent, ou as-tu une suggestion/opinion ?

[Ben314]

J'ai une "suggestion" (mais à peine sortie d'un chapeau... ) :

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Avec égalité ssi

[LjjMaths]

Merci a vous deux j'ai appris pas mal de truc (fonction homogènes..) cependant j'ai essayé avec le lemme De Titu pour voir comment ça marche mais j'arrive à mais je vois pas comment faut faire pour arriver au truc de Lostounet

Merci Ben pour la résolution c'est pas mal !

[Ben314]

lemme De Titu :

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