Inéquation et équivalences !

par **Croony75** » 30 Oct 2011, 17:59

Voici l'exercice :
x et y sont deux réels positifs distincts. montrer que
2xy / x+y infèrieur à x+y/2.
J'ai fait un produit en croix (avec équivalence)
et j'obtiens (x-y) au carré superieur à 0.
Un carré est toujours positif, donc par équivalence
Cette inéquation est vraie.

Je ne sais pas du tout si c'est bon vu qu'on a pas trop fait les équivalences..

par **messinmaisoui** » 30 Oct 2011, 18:15

Hello Croony75,

(2xy / x)+y < x+(y/2)
ou
2xy / (x+y) <(x+y)/2

Merci aussi de donner le détail de ton
developpement qui t'a fait arriver à
(x-y) au carré superieur à 0 ?

par **gcgp** » 30 Oct 2011, 18:16

Je n'obtiens pas ca, j'obtiens une fonction du second degré, comme suit :

ax²+bx+c > 0

Il suffit donc par la suite d'étudier la fonction et de montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle de définition de la fonction, que la fonction soit toujours positive.

Dans ce cas, tu auras montrer que : 2xy / x+y infèrieur à x+y/2.

par **Croony75** » 30 Oct 2011, 18:29

C'est bien : (2xy )/ (x+y) < (x+y)/2
Je pense que tu t'es trompé parce que j'obtiens bien (x-y)² supèrieur à 0.
j'ai fait un produit en croix
j'obtiens :
équivaut 4xy < (x+y)²
0 < -4xy + x²+2xy + y²
0 < -2xy + x² + y²
(x-y)² superieur à 0.

Enfait, je n'ai pas fait f(a) - f(b) superieur à 0.
En gros, j'ai pas utilisé les fonctions, j'ai utilisé les équivalences.

par **gcgp** » 30 Oct 2011, 18:30

4xy < (x+y)²

Autant pour moi, je m'étais arrêté à là,

après oui, le fait que ca soit un carré, il est toujours positif, donc ton inégalité est vérifiée.

par **messinmaisoui** » 30 Oct 2011, 18:32

Croony75 a écrit:C'est bien : (2xy )/ (x+y) < (x+y)/2
Je pense que tu t'es trompé parce que j'obtiens bien (x-y)² supèrieur à 0.
j'ai fait un produit en croix
j'obtiens :
équivaut 4xy < (x+y)²
0 < -4xy + x²+2xy + y²
0 < -2xy + x² + y²
(x-y)² superieur à 0.

Enfait, je n'ai pas fait f(a) - f(b) superieur à 0.
En gros, j'ai pas utilisé les fonctions, j'ai utilisé les équivalences.

Produit en croix Ok car (x+y) positif
resultat aussi Ok pour moi ...

par **Croony75** » 30 Oct 2011, 18:36

X') donc est ce qu'au final par les équivalences, l'inéquation est vraie ? :S
Parce que j'ai pas trop compris la fin enfait..

par **messinmaisoui** » 30 Oct 2011, 18:44

Tu pars de (2xy )/ (x+y) 0 qui est toujours VRAI quelque soit x et y
car élever quelque chose au carré
donne toujours un résultat positif

donc ceci [B](2xy )/ (x+y) 0

par **Croony75** » 30 Oct 2011, 18:50

Ah oooooook ! :) meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeerci !!!

Inéquation et équivalences !

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