Inéquation avec exponentielle

[Sulaheia]

Bonjour,

J'ai une inéquation qui me cherche. J'ai l'impression qu'il doit y avoir un truc simple pour la résoudre et que je m'embête pour rien. Je vous écris quand même ce que j'en ai fait :



Idée 1
J'ai commencé par écrire :


Là on voit tout de suite que l'égalité est obtenue pour et .

Après pour résoudre vraiment l'inéquation, je me suis retrouvée bloquée. On peut toujours calculer une valeur, par exemple pour x=0, et conclure sur l'inéquation, mais ça me semble fumeux. On a le droit de faire ça ?

Idée 2
Comme je n'étais pas convaincue, j'ai repris du début. Google m'a suggéré de multiplier par . Effectivement, ça donne :

Avec , on tombe sur un joli trinôme du second degré :




Bon, heureusement on a :

et on tombe bien sur et
Et après il faut revenir du X au x et conclure. Bon, ok, mais tout ça pour ça ???

SVP, dites moi qu'il y avait un truc tout simple , ou que ma première idée est suffisante comme justification.

Merci !

[pascal16]

faire une analyse de fonction (pas très compliquée)
conclure avec les résultats (-1/2 et 1/2) déjà obtenus

[zygomatique]

salut

étude de la fonction ...

que vaut f(1/2) ?

[Lostounet]

Hello,

Si on connait les fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques et leurs variations!



Comme , on conclut que:

[zygomatique]

avec les fonctions hyperboliques on a tout simplement l'inéquation cosh x > cosh 0,5 ....

mais au lycée ...

[Sulaheia]

Merci à tous pour vos réponses. Effectivement il suffit d'étudier la fonction (c'est la chaleur, mon cerveau a fondu).

Pour les trucs un peu plus marrants (cosh et compagnie), je m'y attaquerais quand j'aurais maîtrisé le programme de lycée
(aussi, dans ce bouquin de maths, le ln n'est pas encore abordé à cet endroit)