Inégalités

par **Swann** » 18 Avr 2009, 20:20

Bonsoir,

j'ai un problème pour répondre à une question

justifier que si x>-1 alors ln(x+1)
ça ne doit pas etre tres difficile, mais je tourne en rond depuis tout a lheure, est ce que quelqu'un pourrait m'aider sil vous plait ?

merci
swann

par **Ericovitchi** » 18 Avr 2009, 20:29

Ecoutes par exemple si tu considères la fonction f(x) = x - ln(1+x)
f(0) = 0
f'(x) =1 - 1/(1+x) = x/(x+1) est donc toujours positive pour x>0
donc f est croissante et comme elle part de 0 elle est donc toujours positive.

par **Ericovitchi** » 18 Avr 2009, 20:36

je suis allé un tout petit peu trop vite. j'ai oublié de dire ce qu'il se passait entre -1 et 0.
Entre -1 et 0 la dérivée est négative et s'annule en 0.
La fonction décroit de + l'infini à zero mais elle est positive quand même.

par **Swann** » 18 Avr 2009, 20:51

ah oui ok j'ai compris :) merci beaucoup
j'essayais de repondre avec des inéquations... pas avec la fonction, j'aurais du y penser :s

j'aurais par contre une autre question... concernant aussi un encadrement :

montrer que pour tout reel x strictement positif 1/(x+1) < ln((x+1)/x) < 1/x

la je ne peux pas utiliser une fonction ?
comment je dois procéder pour arriver à ça ?

merci

par **Swann** » 19 Avr 2009, 09:35

est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? :$:$:$

merci

par **Cheche** » 19 Avr 2009, 10:46

Pourquoi est-ce que tu ne peux pas utiliser une fonction ?

Tu transformes l'encadrement en deux inégalités et tu fais le même raisonnement.

Montre nous ce que tu trouves.

par **Swann** » 19 Avr 2009, 10:58

ok je vais essayer, je vous dis ce que je trouve

par **Swann** » 19 Avr 2009, 11:20

euh je pense que je me suis trompée en faisant ce raisonnement alors : (j'ai fais que pour la une des deux inegalites)

soit f la fonction f(x)= 1/(x+1) - ln( (x+1)/x)

f'(x) = (-x²-x-1)/(x+1)² donc c'est du signe de -x²-x-1 qui est négatif ( avec -1 et 0 ou elle n'est pas définie)

donc dans mon tableau de variation j'ai f(x) toujours décroissante
mais à la calculatrice, la fonction que je vois n'est pas du tout comme ça...

par **Swann** » 19 Avr 2009, 12:03

j'ai fais une erreur dans la dérivée - je recommence

par **Swann** » 19 Avr 2009, 12:45

j'ai refais mes calculs, pouvez vous me dire si cest juste ?

soit f la fonction f(x) = ln((x+1)/x) - 1/(x+1) sur ]O ; +infini [

f'(x) = 1/x(x+1) + 1/(x+1)²

c'est toujours positif sur ]O + inifini[ donc f(x) est croissant sur cet intervalle.

je dois prouver que 1/(x+1) < ln((x+1)/x)
donc la il faudrait que je trouve la limite de f(x) en 0 et que ce soit 0 non ? mais je n'arrive pas à trouver cette limite...

pouvez vous me dire si j'ai fais une erreur sil vous plait ?

par **Ericovitchi** » 19 Avr 2009, 13:55

tu dois avoir une petite erreur de signe.
Quand tu dérives ln((x+1)/x) qui vaut d'ailleurs ln(x+1) - ln (x)
tu devrais trouver 1/(x+1) - 1/x = -1 / (x(x+1) et pas avec un signe +

donc ta dérivée elle vaut plutôt -1 / ((x (x+1)^2)
elle serait plutôt tout le temps négative que tout le temps positive

par **Swann** » 19 Avr 2009, 14:25

je trouve effectivement ça pour la dérivée ( apres 1001 calculs ! )

du coup dans mon tableau j'ai la dérivée négative sur ]0 +inf[ donc fonction décroissante sur ]0, +inf[
et la il faudrait que je trouve la limite de la fonction en +infini non ???

or je n'y arrive pas ...

par **Cheche** » 19 Avr 2009, 14:36

Petite indication :

Question 1 :
Tu as montré que : Pour tout x > -1, ln(x+1) < x

Essaye de l'utiliser dans les questions suivantes, c'est peut-être une solution.

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