Inégalités

[denis273]

bonjour j'aurais souhaité avoir un coup de main pour résoudre une inégalité:
en déduire que si a , b , c sont positifs ou nuls alors (a+b)(b+c)(c+a)supérieur ou égal à 8abc. merci d'avance .

[Dinozzo13]

Salut !

Tu veux plutôt démontrer cette inégalité.

Regarde : Pour tout réels a,b et c strictement positifs :



En effectuant le produit de chaque membre tu arrives à :

Je te laisse poursuivre :++:

[denis273]

juste une petite explication , (a+b) sup 4ab , comment montres tu cela ?

[Dinozzo13]

C'est tout bête, quels que soient a et b :

[denis273]

oui c'est vrai merci

[denis273]

et le deuxieme membre 4ab*4bc*4ca on le factorise par 4( ab*bc*ca)?

[Dinozzo13]

Faux :

Pas la peine de factoriser, on a que des produits, développe tout simplement

[denis273]

merci beaucoup pour ton aide , juste une petite question pour montrer que si a sup 0 et b sup 0 alors a/b + b/a sup 2 , j'ai essayé en mettant au carré les deux membres et j'arrive a ( a/b - b/a)^2 sup 0 . est ce correcte? cordialement

[Dinozzo13]

Tu veux démontrer que pour tout et on a : , c'est ça ?

[denis273]

oui c'est cela. la méthode n'est pas juste ?

[Dinozzo13]

Si c'est cela, alors il te suffit de simplifier l'écriture pour démontrer une autre égalité.

:



Une idée là ?

[denis273]

oui ca y est ( a+b)^2/ab - 2 = a/b+b/a . c'est cela ?

[Dinozzo13]

:hum: non, d'ici tu sais que a>0 et b>0 donc ab>0 et par conséquent, on a :

Tu peux finir ?

[denis273]

oua je suis vraiment à la ramasse! la suite c'est a^2+b^2-2ab sup 0 donc (a-b)^2 sup 0 ? et on a démontré l'inégalité ?

[Dinozzo13]

Oui tout à fait :we:

[denis273]

merci beaucoup pour ton aide!

[Olympus]

Pour la première, remarquer que

[denis273]

en effet merci pour ta remarque