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Soient
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Inégalité.
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Inégalité.
par Xavier » 24 Fév 2019, 19:48
Bonsoir à tous. J'aimerais une aide pour résoudre cet exercice :
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Soient
, 
et 
des nombres réels strictement positifs. Montrer que :
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Soient
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Re: Inégalité.
par aviateur » 24 Fév 2019, 21:15
Bonjour
On pose s=x+y+z et on suppose s fixé (on pourrait même supposer que s=1).
La fonction=x/(s-x))
et convexe sur [0,s] car =(2 s)/(s - x)^3>0)
Donc par l'inégalité de Jensen
on a+ h(y) +h(z))\geq h(1/3(x+y+z))=h(s/3)=1/2.)
cqfd
On pose s=x+y+z et on suppose s fixé (on pourrait même supposer que s=1).
La fonction
Donc par l'inégalité de Jensen
on a
Re: Inégalité.
par Xavier » 24 Fév 2019, 22:39
aviateur a écrit:Bonjour
On pose s=x+y+z et on suppose s fixé (on pourrait même supposer que s=1).
La fonction
Donc par l'inégalité de Jensen
on a
Merci beaucoup.
Re: Inégalité.
par aymanemaysae » 25 Fév 2019, 16:13
Bonjour;
Soient x , y et z des nombres réels strictement positifs , donc on a :
+(\dfrac{y}{z+x}-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{1}{2})\ge0)
})+(\dfrac{2y-x-z}{2(z+x)})+(\dfrac{2z-x-y}{2(x+y)})\ge0)
+(\dfrac{y-x+y-z}{z+x})+(\dfrac{z-x+z-y}{x+y})\ge0)
+(\dfrac{x-z}{y+z})+(\dfrac{y-x}{z+x})+(\dfrac{y-z}{z+x})+(\dfrac{z-x}{x+y})+(\dfrac{z-y}{x+y})\ge0)
(\dfrac{1}{y+z}-\dfrac{1}{z+x})+(x-z)(\dfrac{1}{y+z}-\dfrac{1}{x+y})+(y-z)(\dfrac{1}{z+x}-\dfrac{1}{x+y})\ge0)
\dfrac{z+x-y-z}{(y+z)(z+x)}+(x-z)\dfrac{x+y-y-z}{(y+z)(x+y)}+(y-z)\dfrac{x+y-z-x}{(z+x)(x+y)}\ge0)
^2\dfrac{1}{(y+z)(z+x)}+(x-z)^2\dfrac{1}{(y+z)(x+y)}+(y-z)^2\dfrac{1}{(z+x)(x+y)}\ge0)
;
cette dernière équivalence est logiquement vraie donc : est vraie .
Soient x , y et z des nombres réels strictement positifs , donc on a :
cette dernière équivalence est logiquement vraie donc :
Re: Inégalité.
par aviateur » 25 Fév 2019, 16:25
Bonjour
C'est pas mal @aymanemaysae. Un peu calculatoire mais par contre il y a l'avantage que c'est abordable à un niveau plus bas.
En fait la solution que j'ai proposée est facile mais nécessite de la notion de convexité (Jensen inégalité)
qui n'est peut être pas du niveau de terminale.
Dans le même genre (i.e) calculatoire voici:
l'équation est de la forme-3/2\geq 0)
équivalent à
 (x+z) (y+z)}\geq 0)
ou encore
=2 x^3-x^2 y-x y^2+2 y^3-x^2 z-y^2 z-x z^2-y z^2+2 z^3\geq 0)
Comme x,y,z jouent un rôle symétrique on peut supposer que
Posons alors
et 
(donc u, v positifs)
Alors=g(z+u+v,z+u,z)=2 u^3 + 3 u^2 v + 5 u v^2 + 2 v^3 + 4 u^2 z + 4 u v z + 4 v^2 z\geq 0)
De plus l'inégalité est atteinte quand u=v=0 , i.e quand x=y=z.
C'est pas mal @aymanemaysae. Un peu calculatoire mais par contre il y a l'avantage que c'est abordable à un niveau plus bas.
En fait la solution que j'ai proposée est facile mais nécessite de la notion de convexité (Jensen inégalité)
qui n'est peut être pas du niveau de terminale.
Dans le même genre (i.e) calculatoire voici:
l'équation est de la forme
ou encore
Comme x,y,z jouent un rôle symétrique on peut supposer que
Posons alors
Alors
De plus l'inégalité est atteinte quand u=v=0 , i.e quand x=y=z.
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