Inégalité difficile

[Sara1999]

Bonjour,
J’ai vraiment séché sur ce problème qui m’a été envoyé par un ami. Je demande de l’aide, merci d’avance.
Soient a, b, c, d, e 5 réels strictement positifs tels que:
a^2+b^2+c^2= d^2+ e^2
a^4+b^4+c^4= d^4+ f^4
Montrer que a^3+b^3+c^3 < d^3 + e^3.

[Sara1999]

Pardon c’est d^4 + e^4 et non f^4.
Merci.

[Ben314]

Salut,
Après moultes essais, je pense avoir une solution, mais c'est bien pourri et à vérifier. ..

On a tels que et .
-Pour des raisons de symétrie, on peut considérer que et que .
- En divisant par , on peut considerer que .
- On a
donc .
donc et donc .
avec donc .
En ajoutant aux deux membres on obtient donc .
De même, en faisant moins les deux membres on obtient donc .
BILAN : .
- Si on suppose (cas particulier facile a traiter), que l'on pose , , et pour alors et ce qui permet de conclure que pour tout et en particulier ce qui est le résultat demandé.

[Ben314]

Une question liée à laquelle je n'ai pas la réponse :
Si et qu'on connait les valeurs de et , quelle est la valeur maximale de ?

[Sara1999]

S’il vous plaît , je crois c’est a^2+b^2-c^2, et non a^2-b^2-c^2. Je vous prie de me corrige si j’ai mal compris.

[Ben314]

Si tu parle de l'inégalité
2T-S^2 <= (a^2-b^2-c^2)^2
alors ça me semble juste vu que le terme de droite est égal à celui de gauche +4b^2c^2.

[azf]

je ne vois pas pour quelle raison on devrait s'interdire de résoudre ce problème en ne considérant pas a=b=c d'une part et d=e d'autre part (ceci dit il est possible que je dise encore une nouvelle connerie)

[catamat]

Bonjour
D'abord bravo Ben pour cette démonstration c'est du grand art !

Je cherche toujours à comprendre le cheminement qui a conduit à la solution.
Je suppose (dites moi sike me trompe) que vous avez pensé à l'utilisation de la concavité, puis défini f s'annulant en d² et et ensuite cherché les inégalités vous permettant de trouver le signe de f".

Bon je vais juste dire un mot sur le cas d=1 que vous avez laissé au lecteur.

Dans ce cas on a a²+b²=e² et

En élevant au carré la première égalité on arrive vite à 2a²b²=0 d'où a=0 ou b=0 ce qui est absurde d'après l'hypothèse

Enfin dernier mot, il me semble que les inégalités concernant sont au sens large ce qui ne change rien à la suite (là aussi dites moi si je me trompe)

[Sara1999]

Tout d’abord, merci beaucoup Ben pour cette belle démonstration . J’en suis restée émerveillée.
J’avoue qu’elle est très difficile, et que vous m’avez donné ainsi d’intéressantes idées pour aborder ce genre de problèmes.

[Ben314]

@Catamat :
- La façon dont j'ai fini par trouver à été un "mix" entre les deux trucs que je faisais en parallèle pour chercher une solution : utiliser les fonctions symétriques élémentaires et chercher la bonne fonction (en particulier la bonne variable) pour montrer le résultat via une étude de fonction.
- J'ai des doutes concernant l'impossibilité du cas d=e=1 : que pense tu par exemple de a=8/7 ; b=5/7 ; c=3/7 ?
(tu devrait trouver que a=b+c et que d^2=e^2=b^2+bc+c^2)

[catamat]

@Ben314
Merci d'abord de m'avoir répondu.
J'ai honte mais j'ai cru que c était égal à 1 alors que c'est e !!! Hélas ma vue n'est plus ce qu'elle était... Désolé

[Ben314]

Ah, tient, sinon j'ai oublié de répondre concernant les inégalités sur alpha, bêta, gamma : oui, vu ce que j'écris avant, à priori c'est des inégalités larges, mais pour que f'' ne soit pas >0 sur R+, il faudrait qu'il y ait égalité partout et ce n'est pas possible par exemple du fait que non seulement d>=b mais on a même d^2>=b^2+c^2.
Donc dan le résultat final, c'est forcément une inégalité stricte.