Inégalité avec des puissances variables

[Pierre Korne]

Bonjour à tous,

J'ai à prouver, pour tout réels positifs x et y, l'inégalité:
x^y+y^x;)1

J'ai réussi à la prouver sans difficulté pour x ou y nul, x ou y valant 1 et x ou y supérieur à 1.
Cependant, je ne parviens pas à la démontrer pour x et y appartenant à ]0;1[.

J'ai tenté de passer l’inégalité sous la forme e^(y*ln(x))+e^(x*ln(y));)1 ; mais sans résultat. J'ai également essayé de dériver en fixant x ou y, toujours sans résultat.

La question précédente nous demandait de trouver le minimum de f pour x>0 et f(x)=x^x.
En dérivant f(x)=e^(x*ln(x)), j'ai trouvé un minimum de 1/e, ce qui ne m'a, là encore, pas aidé à trouver la solution.

Auriez-vous des pistes, des idées à partager avec moi?

En vous remerciant d'avance,

Pierre Korne

[Robic]

(Zut, je dis des bêtises, ce n'est pas aussi simple... L'idée, c'était qu'il était peut-être possible de prouver que x^y > x^x et y^x > y^y. Comme le minimum de x^x (obtenu pour 1/e et valant 1/e à la puissance 1/e) est supérieur à 1/2, on obtiendrait que x^y + y^x est supérieur à 1. Mais x^y > x^x n'est vrai que si y > x il me semble, et encore.)