Important : exercice dans l'arithmethiques dans Z

[zerow2001]

Salut svp j'ai besoin un peu d'aide
L'exercice est comme cela :
(a,b)∈IN²
On suppose que les nombres : a et a+b et a+2b sont des nombres premiers.
1) Montrez que b est paire
2) Montrez que 3 divise b et conclue la valeur de b
3) Donne 3 exemples où a et a+b et a+2b sont premiers

Mon papier :
1) j'ai supposer que b est impaire et je veux trouver une contradiction avec les données, j'ai développé mais sans succès
2) j'ai pas fait la première partie mais pour la conclusion j'ai utiliser les questions précédents :
Puisque b est pair alors : et puisque 3 divise b alors :
alors b doit être un multiple de 3 et de 2 en même temps, alors elle doit être multiple de 6 alors la valeur de b est :
3) j'ai donner un exemple par essaie : a=3 et b=2 [[a est premier / a+b=3+2=5 est premier / a+2b = 3+2*2 = 3+4 = 7 est premier]] mais j'ai remarqué que 2 ne s'écrit pas sous forme de b=6k
aidez moi svp svp svp

[Lostounet]

Salut,
1. Si a et a+b sont premiers alors si a>2 on sait qu'ils sont tous les deux impairs.
Donc (a+b) - (a) est un nombre pair.

Le cas a=2 se traite à part en 1 seconde.

[zerow2001]

Merci beaucoup, mais pourquoi tu as divisé le prob en deux cas ?

[Lostounet]

Il faut juste éviter que le nombre premier fasse 2 car 2 est premier et pair.
Mais bon il suffit de soustraire ces nombres premiers deux à deux pour trouver que b est pair.

[zerow2001]

Merci beaucoup, tu es un génie, je te jure

[zerow2001]

svp la démonstration de b est divisible par 3, j'ai pas arriver

[Lostounet]

svp la démonstration de b est divisible par 3, j'ai pas arriver

Salut,
Il doit y avoir plus simple...
On sait que tout nombre premier p est congru soit à 1 soit à (-1) modulo 6 (justifie-le).

Cela veut dire que les trois nombres premiers (a) , (a+b) et (a+2b) sont chacun congrus soit à 1 soit à (-1) modulo 6.

Supposons d'abord que a=1 modulo 6.

Alors on a que:
a+b=1 [mod 6] ou a+b=-1 [mod 6]

Et aussi:
a+2b=1 [6] ou a+2b=-1 [mod 6]

Donc en remplaçant a par 1 modulo 6:

1+b= 1 [ 6] ou alors 1+b=-1 [mod 6]
b=0 [mod 6] ou alors b=-2=4 (mod 6)
En passant modulo 3:
b=0 (mod 3) ou alors b=1 (mod 3)

Et aussi pour la deuxième équation:

2b= 0 (mod 6) ou 2b=4 (mod6)
Donc b=3 (mod 6) ou bien b= 2 (mod 6)
Alors b=0 (mod 3) ou bien b=2 (mod 3)


La seule possibilité pour rendre les deux premiers est b=0 mod 3 donc b est multiple de 3.

Le cas a=-1 me semble analogue.
(Je ne me suis pas relu donc si quelqu'un pouvait relire pour voir si ça marche je dois y aller)

[zerow2001]

Merci, j'ai compris <3