Homothétie et translation

[playerps3]

bonjour voila je dois démontré le théoreme suivant mais j'ai essayer et j arrive vraiment pas pouvez vous m'aider?
voici le théoreme:
si k different de 1 et si h est la transformation pour laquelle h(A)= A' et
h(B)=B' et vecteur A'B'= k fois le vecteur AB alors h est une homothétie de rapport k.

[Flodelarab]

Voila une question intéressante.

Malheureusement, je crois qu'elle est fausse.

Nous n'avons qu'à imaginer une transformation qui transforme le vecteur comme décrit et qui fait n'importe quoi pour le reste des points possibles.
De cette façon, on pourra avoir une transformation h qui vérifie les hypothèses SANS être une homotétie.


Qu'en penses tu ?

[playerps3]

enfaite faut trouver le centre et le raport pour pouvoir démontré le théoreme, et le théoreme que j'ai inscrit plus au est le meme que mon prof ma f'ait marquer dans mon cour et je sui interroger dessu 2m1.

[Flodelarab]

Le centre (S'IL EXISTE! je le répète) est facile à trouver.
c'est l'intersection de (AA') et de (BB'). D'accord ?

L'homotétie est à voir comme un projecteur de diapositives. et k, le rapport est le grossissement de l'image. Le centre, la source de lumière. Si A devient A' et B devient B' alors la source de lumière, le centre, est à l'intersection des droites déjà citées.

Le rapport est donné


Mais j'insiste. Le théorème posé tel qu'il est posé ici est faux.

[playerps3]

c'est la reciproque du théoreme suivant selont mon prof
si h est une homothétie de centre O et de rapport k et si A et B sont 2 pts quelconque d'image respéctive A' et B' par h alors vecteurA'B'=k vecteur AB. et k est le rapport d'homothésie.
si mon th est faut qu'elle est la bonne version?

[playerps3]

quelle est l'érreur dans le théoreme?

[Flodelarab]

Je suis d'accord avec ce théorème que tu viens d'écrire.
Facile à démontrer par le théorème de Thalès.


La réciproque semblerait etre:
si k different de 1 et si h est l'homothétie pour laquelle h(A)= A' et
h(B)=B' et vecteur A'B'= k fois le vecteur AB alors h est une homothétie de rapport k.


Dans le théorème, on part du rapport de l'homothétie pour arriver à l'égalité vectorielle
Dans la réciproque, on part de l'égalité vectorielle pour arriver au rapport de l'homothétie
Mais dans tous les cas, h doit être définie comme une homothétie au début.

Pour la démonstration de la réciproque, c'est pareil: T'es bon pour appliquer Thalès

[yos]

Bonjour.
Le théorème est juste mais il faut rajouter "quels que soient les points A et B d'images A', B' " dans les hypothèses.
Pour le prouver on montre d'abord que h possède un point fixe. Après c'est facile.

[playerps3]

comment faire pour démontré que h a un point fixe chu vmt perdu la j'ai commencer le chap aujourdui lol aider moi un pti peu plus svp

[yos]

Analyse :
Si O est fixe, alors pour A quelconque d'image A', tu as , donc et comme 1+(-k) est non nul, O est le barycentre de (A',1) et (A,-k).

C'est donc là qu'il faut chercher !

Synthèse :
Soit A un point quelconque, A' son image, et O le barycentre de (A',1) et (A,-k). Il existe car . On note O' l'image de O par h.
D'une part (relation barycentrique).
D'autre part (propriété de h).
Donc ,
donc O=O'.

[playerps3]

franchement merci mais jai une toute dernier question comment prouver que le rapport K est le meme pour vecteur OB'=k vecteur OB et OA'=K vecteur OA?

[yos]

C'est la propriété vérifiée par h : tu l'appliques à (O,A) d'image (O,A') : le réel k est par hypothèse indépendant du point A.

[playerps3]

voila le raisonement que j'ai faitO étant un pts fixe et h(A)=A' et h(B)=B' alors
vecteur OA'=k vecteur OA
vecteurOB'= k vecteur OB
vecteur OB'- vecteurOA'=k vecteur OB - k vecteur OA
donc vecteur A'B'= k vecteur AB
donc h est une homotetie de centre O et de rapport k
c'est sa?

[yos]

Non!
On a trouvé un point fixe O.
On a OA'=kOA pour tout point A (et A' son image) d'après la propriété vérifiée par h.
Donc h est l'homothétie de centre O et de rapport k.