Homothetie lieu

[nath59320]

bonjour à tous,voilà, j'ai un exercice sur les homothetie avec la correction, le probleme c'est que je ne comprend ni l'énoncé ni la correction, pouvez vous m'aider svp, je vous remercie

énoncé: Soit T un cercle, soit A un point de ce cercle. à tout point M different de A on associe le milieu I de [AM].Déterminer le lieu de I lorsque M décrit T privé de A.

correction:Soit h l'homothetie de centre A de rapport 1/2.Comme I est le milieu de [AM] on a : h(M)=I
Le lieu du point I lorsque M décrit T\{A} est donc l'image de M\{A} par h.
c'est le cercle de centre O', milieu de (OA) passant par A et privé de A.

voil merci d'avance

[titine]

Pour comprendre le problème utilise un logiciel de géométrie dynamique. As tu déja eu l'occasion d'en utiliser un ? En tout cas il faudra t'y mettre puisque l'année prochaine au Bac tu auras une épreuve de TP de math ... Si tu n'en as pas sur ton ordi tu peux télécharger gratuitement géogébra à l'adresse suivante géogébra Tu verras il est très simple d'utilisation.
Tu traces un cercle.
Tu places un point A sur le cercle et un point M sur le cercle.
Tu construis le point I milieu de [AM].
Tu "attrapes" le point M et tu le déplaces sur le cercle.
Que se passe t il pour I ?
Pour mieux voir, tu fais afficher la trace de I.
Tu vois alors que quand M parcourt le cercle, I parcourt .......

Je voulais te joindre la figure mais je n'y arrive pas ...!

Quoi qu'il en soit je t'encourage vivement à t'entrainer à utiliser ce genre de logiciel sur des exemples simples .

Dis moi si tu as réussi.

[titine]

Après cela passons à la résolution mathématique :
Considérons l'homothétie h de centre A de rapport 1/2.
Si M' = h(M), on a : vec(AM') = 1/2 vec(AM) (définition de l'homothétie)
Donc M' est le milieu de [AM].
Donc h(M) = I.
On sait que l'image d'un cercle de centre O et de raoyn r par une homthétie de rapprt k est un cercle de centre h(O) et de rayon k*r.
Donc quand M décrit le cercle, son image par h, I, décrit un cercle de rayon 2 fois plus petit.

[nath59320]

merci pour ta reponse mais je n'ai toujours pas compris dsl :triste:

[prody-G]

Salut

qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Que h(M)=I ou que le lieu géométrique décrit par I est un cercle ?

[nath59320]

en faite je ne comprend pas l'énoncé de plus je ne comprend ce que signifie le terme privé.

[titine]

énoncé: Soit T un cercle, soit A un point de ce cercle. à tout point M different de A on associe le milieu I de [AM]. Jusque là pas de problème ?
Déterminer le lieu de I lorsque M décrit T privé de A. Quel est l'ensemble obtenu par tous les points I correspondants à toutes les positions du point M sur le cercle T. M décrit T privé de A = M prend toutes les positions possibles sur T sauf le point A = M parcourt le cercle T mais ne peut pas être confondu avec A.

Est plus clair ?
Ca serait bien de suivre mes conseils et de faire la figure sous GeoGebra car alors tu pourrais déplacer le point M et voir la trace laissée par le point I ...

[titine]

Je reprends mon explication d'hier.

Tout d'abord, "je ne comprend ce que signifie le terme privé". Tu sais ce que veut dire '"privé d'argent de poche" ou "privé de dessert". Le cercle T privé du point A c'est l'ensemble de tous les points de T sauf le point A.

Expliquons le but de l'exercice.
Tu as un cercle T avec un point A sur T. Tu places un point M sur T. Imagine que ce point M est une petite fourmi, elle se déplace sur le cercle, imagine que c'est un rail dont elle ne peut sortir. Elle parcourt tout le cercle sauf A, quand elle arrive en A, elle le saute (si, si, c'est une fourmi sauteuse !!)
Considère maintenant le point I milieu de [AM]. Imagine que ce point I est un escargot (qu'est ce qu'on raconterait pas pour essayer de se faire comprendre ...!!). Bien sûr quand la fourmi se déplace, l'escargot bouge puisqu'il est toujours au milieu de [AM]. En se déplaçant, cet escargot baveur laisse une trace sur le sol.
Le but de l'exercice c'est de trouver quelle figure à tracé l'escargot ... C'est ce que l'on appelle le lieu du point I.
J'espère que mes explications un peu ... animalières, ne choqueront personne !!

Tu ne m'as pas répondu sur l'utilisation des logiciels de géométrie dynamique. Sais tu ce que c'est ? En as tu déja utilisé (Géoplan,, Geogebra, Cabri ...)
L'utilisation de tels logiciels pour les exercices de lieu est très utile. Bien sûr on résolvait ce type d'exercice bien avant l'invention des ordinateurs, de même qu'on étudiaient des fonctions et traçaient des courbes avant l'invention des calculatrices graphiques !! Mais, sans résoudre le problème, ils apportent une réelle aide au raisonnement.
Par exemple ici, on voit sur le dessin que la trace de I est un cercle 2 fois plus petit que T, c'est à dire une réduction de T, ce qui fait penser à une homothétie .... Reste plus qu'à démontrer que ça marche bien ....
Une dernière remarque : ici il est assez évident que lorsque le point M parcourt un cercle, le point I aussi. Mais d'en certain cas le lieu est beaucoup moins évident et l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique apporte alors une aide vraiment précieuse.