Homothétie avec les complexes. (spé maths)

[skyskiper]

Voilà, j'ai un DM à faire en spécialité mathématique et j'ai beau chercher, je ne vois pas le bon chemin qu'il faut suivre. Si vous avez le courgae de m'aider, ce serait sympa!

Voici mon exercice:
O1 et O2 (prononcez "omega 1" et "omega 2") sont deux points d'affixes w1 et w2 (prononcez "petit omega1 et "petit omega 2"); k1 et k2 sont deux réels non nuls.
h1 et l'homothétie de centre O1 et de rapport k1 et h2 est l'homothétie de centre O2 et de rapport k2.
1): Déterminer les formes complexes h1, h2 et f=h1 o h2 (prononcez "h1 rond h2) --> pas de problème, j'y suis arrivé.
2): On suppose k1.k2=1 Montrez que f est une translation de vecteur colinéaire au vecteur O1O2. --> pas de problème non plus
3): On suppose k1.k2/=1 (prononcez "k1.k2 différent de 1") Montrez que f est une homothétie de rapport k1k2 dont le centre O (prononcez "omega") est aligné avec O1 et O2. --> ça par contre, je n'y arrive pas.
En développant mon expression, je suis arrivé à trouver ceci (mais ça ne m'avance pas beaucoup...):
k1.k2.z-k1.k2.w2+k1.w2-k1.w1+w1
Je doit trouver un truc de la forme k1.k2(z-x)+x avec ça, comment faire...?

Merci à tous ceux qui auront le courage de me répondre! (Chimerade, si tu es là, peux-tu éclairer ma lanterne, toi qui m'a tant aider? lol)
++

[becirj]

Bonjour
Il faut que tu trouves le centre de l'homothétie. C'est un point fixe (égal à son image) de l'application donc pour cela tu dois résoudre l'équation ce qui te donnera l'affixe de

(ton calcul de z' est correct)

[skyskiper]

Bonjour
Il faut que tu trouves le centre de l'homothétie. C'est un point fixe (égal à son image) de l'application donc pour cela tu dois résoudre l'équation ce qui te donnera l'affixe de

(ton calcul de z' est correct)

D'acc, je vais essayer, merci pour ta réponse!
++

[skyskiper]

J'ai donc essayé mais je trouve (-k1.k2.w2+k1.w2-k1.w1+w1)/(1-k1.k2).
Mais je ne vois pas comment aller plus loin...
En quoi cette expression me permet-elle de montrer que O est aligné avec O1 et O2?
Merci quand même...
++

[becirj]

Tu as montré l'existence d'un point fixe , ce n'est pas suffisant pour avoir une homothétie, il faut retrouver la forme complexe de l'homothétie.

étant un point fixe, son affixe vérifie :

En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on arrive à
ce qui prouve que l'on a bien une homothétie de rapport

Pour montrer que les points sont alignés, calcule en remplaçant par l'expression que tu as trouvée , tu devrais trouver (sauf erreur de ma part)
ce qui prouve la colinéarité des vecteurs et

[skyskiper]

Tu as montré l'existence d'un point fixe , ce n'est pas suffisant pour avoir une homothétie, il faut retrouver la forme complexe de l'homothétie.

étant un point fixe, son affixe vérifie :

En soustrayant membre à membre ces deux égalités, on arrive à
ce qui prouve que l'on a bien une homothétie de rapport

Pour montrer que les points sont alignés, calcule en remplaçant par l'expression que tu as trouvée , tu devrais trouver (sauf erreur de ma part)
ce qui prouve la colinéarité des vecteurs et

Ouah, merci bien! Heuresement qu'il y'a des gas comme toi sur cette terre, bon c'est vrai que j'aurai préférer trouver seul, mais bon, tan pis! Merci quand même!
++ :id:

[skyskiper]

Salut! Je ne veux pas te deranger encore un fois, mais j'aimerai juste savoir comment tu a fait pour trouver cette méthode si rapidement, tu a chercher et a eu un coup de chance où c'est quelque chose que tu maitrise depuis longtemps et que tu connais bien? Parce que personnelement, je psen que j'aurai pu chercher encore longtemps avant de trouver...
++

[becirj]

Bonjour

C'est une méthode générale et au cours de cette année, tu verras certainement d'autres exemples.

Quand on compose des transformations, la recherche du ou des points fixes permet une première classification et quand on a un seul point fixe, la soustraction d'égalités est un procédé performant pour arriver à la forme complexe de la transformation.

[skyskiper]

Ok, merci bien pour ton aide!
++