Histoire de triangle

[Anonyme]

salut,je coince un peu sur ce probleme.merci de me donner un coup de main

Demontrer que si les angles d'un triangle ABC verifient :
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)=2
alors ABC est rectangle.
je sait que A+B+C=pi mais qd je passe au sinus et que je remplace je ne trouve pas au moins un des angles egale à pi/2

[becirj]

On démarrage possible : l'égalité donnée peut encore s'écrire

donc et tu peux utiliser une formule d'addition
D'autre part : ...
En développant le carré de , après factorisation et simplification tu devrai arriver à donc

[Anonyme]

merci Becirj,ca y est j'ai compris avec tes explications

[LN1]

Bonjour,

J'ai des doutes sur

après factorisation et simplification tu devrai arriver à donc

Car le triangle n'est pas obligatoirement rectangle en C, il pourrait très bien être rectangle en A.. ou B

Une méthode , pas forcément la plus courte,

a) Prouver que
sin²a + sin²b + sin²c = 2 (prop.1)
équivaut a
cos²a + cos²b + cos²c = 1 (prop.2)

b) Prouver que cos(a + b + c) = cosa.cosb.cosc - sina.sinb.cosc - sina.cosb.sinc - cosa.sinb.sin c

c)Démontrer que sina.sinb = cosc + cosa.cosb, ainsi que des propriétés analogues sur les autres produits de sinus (car dans un triangle, cos(a + b) = - cos(c))

d) En déduire que cos(a + b + c) = -2cosa.cosb.cosc - cos²a - cos²b - cos²c

e) Sachant que cos(a + b + c) = cos(pi) = -1 et en utilisant la prop.2 démontrer que cosa.cosb.cosc = 0

f) En déduire que l'un des angles est droit

[becirj]

Quand on simplifie l'égalité par cos A et cos B, on suppose ces nombres non nuls donc A et B non égaux à et si cos A ou Cos B est nul, le problème est résolu. Donc dans tous les cas un des angles est droit

[LN1]

OK :happy2:

Je n'avais même pas mené tes calculs jusqu'au bout. Ca marche très bien et c'est plus simple que ma méthode