Help svp / Exercice maths expert

[Darwin72190]

Bonjour tout le monde
Je suis en classe de terminale en option maths-expert .
J'ai un exercice à rendre à la rentrée mais je n'arrive pas à le faire
Merci de m'aider svp
Voici l'énoncé :
Soit x appartient dans ]0;2pi[
1)En factorisant par e^ix/2 , determiner le module et un argument de a=1+e^ix et b=1-e^ix
2) Montrer que a/b est un nombre imaginaire pur

[hdci]

Bonjour,

Pour la première question :

"Factoriser par ", cela signifie écrire a sous la forme



où z est un certain complexe qu'il faut exprimer. Pouvez-vous exprimer z ?

[Darwin72190]

Salut
Alors là je ne sais pas du tout
Tout ce que je sais , il faut utilisé la formule d'Euler et de Moivre mais je ne sais pas comment

[hdci]

Bon, alors faisons simple.

Vous avez x=a+b.

Vous voulez écrire x=cy.

A quoi est égal y ? (en fonction de a,b et c)

[Darwin72190]

x=a+b
x=cy
Donc a+b=cy
Alors y=a+b/c
?

[hdci]

Oui, mais non : quelle est la priorité des opérations ? Car a+b/c, moi, je comprends que je divise b par c, puis j'ajoute a.

Etant en terminale spécialité + option experte, vous ne devez pas faire ce type d'approximation.

[Darwin72190]

Oups désolé
y=(a+b)/c
J'ai oublié les parenthèses

[hdci]

Donc avec


Pouvez-vous :

1) l'écrire sous la forme d'une somme de deux fractions
2) Remplacer a,b,c par respectivement

[Darwin72190]

1) (a/c)+ (b/c)
2) (1/e^ix/2) + (e^ix/e^ix/2)
?

[hdci]

Oui c'est cela.
Revenons toutefois au point de départ : on a



Mettre en facteur cela donne



Voyez-vous la simplification à faire ? (indication : écrire sans fraction)

[Darwin72190]

En développant et en simplifiant, ca nous donne 1+e^ix

[hdci]

Oui mais si vous développez vous revenez au point de départ. Donc ça ne sert à rien.

Il faut garder



et il faut "réarranger"



pour qu'il n'y ait plus de fraction.

Indication : comment écrire sans fraction ?

[Darwin72190]

Bha a^-n

[Darwin72190]

Donc e^ix/2((e^-ix/2) + .... ))
Dans les pointillés , je n'arrive pas à mettre(( e^ix)/e^ix/2) sans fraction

[mathelot]

résumé de cours:
pour a , b ,x réels, on a les identités

[hdci]

Donc e^ix/2((e^-ix/2) + .... ))
Dans les pointillés , je n'arrive pas à mettre(( e^ix)/e^ix/2) sans fraction

Vous voulez donc dire



(en Tex, vous écrivez ceci
e^{ix/2}\Big( e^{-ix/2}+e^{ix/2} \Big)

Puis vous sélectionnez le tout et vous cliquez sur le bouton "tex" dans le bandeau en haut)

Et maintenant, vous pouvez en déduire ce qu'est, avec les formules d'Euler :



Cela vous donne le module de votre nombre, l'argument étant dans mis en facteur

Il n'y a ensuite plus qu'à faire pareil avec le nombre b, puis à calculer le quotient a/b qui grâce à tout cela se simplifie grandement.

[Darwin72190]

Merci beaucoup pour votre aide Monsieur
Je vous souhaite une excellente journée et à bientôt