[term s] help ! suite, logarithme népérien

[Anonyme]

bonjour à tous
j'aurais besoin de votre aide !

on a : (x-(x²/2)) < ln(1+x) < x [1]
u est une suite définie par : U(n)= (1+1/n²)(1+2/n²)(1+3/n²)...(1+n/n²)
on pose la suite V(n)=ln(U(n)) pour tout n supérieur à 1

les questions dont je ne trouve pas la solution sont :
*déduire de [1] un encadrement de V
*démontrer que la suite V est convergente. quelle est sa limite ?
*en déduire que la suite U converge.déterminer sa limite

merci d'avance à tous ceux qui vont m'aider !

--
***fx
lycéen-student-discipulus

[Anonyme]

"Fx" a écrit dans le message de
news:bp5cre$l2p$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> bonjour à tous
> j'aurais besoin de votre aide !
>
> on a : (x-(x²/2)) u est une suite définie par : U(n)= (1+1/n²)(1+2/n²)(1+3/n²)...(1+n/n²)
> on pose la suite V(n)=ln(U(n)) pour tout n supérieur à 1
>
> les questions dont je ne trouve pas la solution sont :
> *déduire de [1] un encadrement de V
*démontrer que la suite V est convergente. quelle est sa limite ?
> *en déduire que la suite U converge.déterminer sa limite
>
Si tu calcules ln (Un), tu as une somme de ln(1+k/n^2) : (k compris entre 1
et n) en remplacant par ton encadrement x par k/n^2, tu obtiens surement un
encadrement de V,. Si de plus elle est monotone (croissante ou
decroissante), elle converge, et le limite doit etre trouvable et en passant
à l'exponentielle tu peux trouver la limite de U.
> merci d'avance à tous ceux qui vont m'aider !
De rien.
>
> --
> ***fx
> lycéen-student-discipulus
>
>

[Anonyme]

"bucou" a écrit dans le message de news:
3fb639ff$0$233$626a54ce@news.free.fr...
> "Fx" a écrit dans le message de
> news:bp5cre$l2p$1@news-reader5.wanadoo.fr...[color=green]
> > bonjour à tous
> > j'aurais besoin de votre aide !
> >
> > on a : (x-(x²/2)) > u est une suite définie par : U(n)= (1+1/n²)(1+2/n²)(1+3/n²)...(1+n/n²)
> > on pose la suite V(n)=ln(U(n)) pour tout n supérieur à 1
> >
> > les questions dont je ne trouve pas la solution sont :
> > *déduire de [1] un encadrement de V
> *démontrer que la suite V est convergente. quelle est sa limite ?
> > *en déduire que la suite U converge.déterminer sa limite
> >
> Si tu calcules ln (Un), tu as une somme de ln(1+k/n^2) : (k compris entre[/color]
1
> et n) en remplacant par ton encadrement x par k/n^2, tu obtiens surement
un
> encadrement de V,. Si de plus elle est monotone (croissante ou
> decroissante), elle converge, et le limite doit etre trouvable et en
passant
> à l'exponentielle tu peux trouver la limite de U.

Il n'y a pas de monotonie à utiliser.

Si 1<=k<=n, alors k/n^2-(k^2/2n^4) < ln(1+k/n^2) < k/n^2
On somme pour k entre 1 et n. Il faut pour cela connaitre
somme(k=1..n,k)=n(n+1)/2 et somme(k=1..n,k^2)=n(n+1)(2n+1)/6

Donc n(n+1)/2n^2-n(n+1)(2n+1)/12n^4 < V(n) < n(n+1)/2n^2
V(n) est encadré par deux suites qui tendent vers 1/2, donc V(n) tend vers
1/2 (théorème des gendarmes)
Donc U(n) tend vers exp(1/2)

[Anonyme]

merci beaucoup à vous deux !

"FDH" a écrit dans le message de news:
3fb63cd6$0$234$636a55ce@news.free.fr...
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> "bucou" a écrit dans le message de news:
> 3fb639ff$0$233$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > "Fx" a écrit dans le message de
> > news:bp5cre$l2p$1@news-reader5.wanadoo.fr...[color=darkred]
> > > bonjour à tous
> > > j'aurais besoin de votre aide !
> > >
> > > on a : (x-(x²/2)) > > u est une suite définie par : U(n)=[/color][/color]
(1+1/n²)(1+2/n²)(1+3/n²)...(1+n/n²)[color=green][color=darkred]
> > > on pose la suite V(n)=ln(U(n)) pour tout n supérieur à 1
> > >
> > > les questions dont je ne trouve pas la solution sont :
> > > *déduire de [1] un encadrement de V
> > *démontrer que la suite V est convergente. quelle est sa limite ?
> > > *en déduire que la suite U converge.déterminer sa limite
> > >
> > Si tu calcules ln (Un), tu as une somme de ln(1+k/n^2) : (k compris[/color][/color]
entre
> 1[color=green]
> > et n) en remplacant par ton encadrement x par k/n^2, tu obtiens surement
> un
> > encadrement de V,. Si de plus elle est monotone (croissante ou
> > decroissante), elle converge, et le limite doit etre trouvable et en
> passant
> > à l'exponentielle tu peux trouver la limite de U.
>
> Il n'y a pas de monotonie à utiliser.
>
> Si 1 On somme pour k entre 1 et n. Il faut pour cela connaitre
> somme(k=1..n,k)=n(n+1)/2 et somme(k=1..n,k^2)=n(n+1)(2n+1)/6
>
> Donc n(n+1)/2n^2-n(n+1)(2n+1)/12n^4 V(n) est encadré par deux suites qui tendent vers 1/2, donc V(n) tend vers
> 1/2 (théorème des gendarmes)
> Donc U(n) tend vers exp(1/2)
>
>[/color]