Help: Comment passer d'exemples à une formule générale pour

[Chtitange]

Je vous l'accorde, ça ne faisait pas longtemps que je n'avais pas sollicité votre aide :lol3:

je suis toujours dans mes suites, et à un certain exercice (le dernier de ce DNS) on me demande de vérifier que et que avec comme données et (de manière générale (avec n "tranches" 41) )

jusque là pas de problèmes, j'y arrive ^^

mais ensuite on me demande de "vérifier, plus généralement, que pour tout naturel p;)1,
= + 41/

L'objectif de l'exo est de démontrer que le nombre a (2,3414141...) est un nombre rationnel (la réponse étant 1159/495, merci la calculette)
Ils nous disent que a est la limite de mais ce n'est nul part précisé que est une suite (c'est consiéré comme logique ou je dois le préciser ?)

donc voila j'aimerais savoir comment on peut passer d'exemples qui marchent (ici et ) à la suite générale.

merci

[emdro]

Hello,

commence par te poser la question: quelle est l'ordre de la dernière décimale dans .

Ensuite, tu pourras écrire , tu verras que tout se simplifie sauf la p-ième tranche de 41 qui doit normalement être située au rang 2p+1 rangs après la virgule.

Et c'est gagné.

NB pour montrer que a=2,3414141.. est rationnel, il suffit d'écrire:
1000a=2341,4141...
10a=23,4141...
Donc en soustrayant, 990a=2318 et a=2318/990 (à simplifier) et c'est fini!

[Chtitange]

commence par te poser la question: quelle est l'ordre de la dernière décimale dans .

Ensuite, tu pourras écrire , tu verras que tout se simplifie sauf la p-ième tranche de 41 qui doit normalement être située au rang 2p+1 rangs après la virgule.

je ne comprends pas quand tu demandes l'ordre de la dernière décimale dans
est ce que c'est le p-ième 41 après 2,3 ?

et ça rend ... 2,34141414141 - xxx

je ne comprends pas désolée ...

[Miya]

Resalut ;)

Ce que veux dire Emdro par "ordre de la dernière décimale", c'est la combienième décimale, si tu veux (mais c'est moins classe de le dire comme ça).
Ainsi pour 2,341 l'ordre de la dernière décimale est 3, 2,34141 -> 5 ect

Pour répondre à la question, Emdro l'a très bien fait (je ne comprends pas trop comment on peut en faire une question en fait. Il est direct que u_p = u_{p-1} + 41/10^{2_p+1}, puisque la somme est télescopique).
Enfin, pour montrer de la façon de tes profs (plus scolaire et moins astucieuse que celle d'Emdro), il ne te reste plus qu'à trifouiller un peu dans les limites ;)


Bon amusement.

[emdro]

Oui, c'est exactement ce que Miya a dit.
On est un peu sur un terrain glissant car le est défini par une phrase, et pas trop par une notation.
On a donc l'impression de patauger et ne rien démontrer proprement.
Essayons donc d'être rigoureux:





Si on t'avait défini la suite u ainsi, je te laisse faire, mais cela aurait été très facile de prouver que

NB la méthode "astucieuse" pour trouver l'écriture fractionnaire de 2,34141.. est appliquable à tous les rationnels. Elle donne très facilement le résultat, et te permettra de vérifier le long calcul qui t'attend avec la somme d'une suite géométrique! :we:

[emdro]

Tu peux aussi dire:
2,341...414141=u(p)
2,341...4141=u(p-1)
__________________

0,000...00041=u(p)-u(p-1)

C'est ce que je voulais suggérer au début.
0,000...00001*41=u(p)-u(p-1)
Reste à savoir la position du 1.
Cela correspond à la dernière décimale de 2,341...414141=u(p), c'est à dire 1 (pour le 3 après la virgule) plus 2p (p paquets de 2 chiffres pour les p 41)
Donc
10^[-(2p+1)]*41=u(p)-u(p-1)