Guide Equation - Inéquations - Systèmes [Inachevé]

[Dinozzo13]

Bonjour à vous !

Sujet récurrent sur le forum, les équations posent encore beaucoup de problème là où il ne devrait pas y en avoir.
Pour remédier à cela, je vous propose donc un guide (incomplet pour l’instant mais que je complèterai le plus vite possible) qui traite de la résolution d’équation, d’inéquations et des systèmes linéaires.
Je me suis efforcé de détailler au mieux les raisonnement à adopter afin de résoudre ces différentes équations inéquations et/ou systèmes rencontrés de la 2nde jusqu’à la Tle S.
Bien évidemment, je suis tout à fait conscient que tout le monde n’est pas aussi à l’aise avec la théorie que d’autres, c’est pourquoi je m’appuierai en particulier sur des exemples concrets.
De même, pour une compréhension universelle, je privilégierai l’emploi du français à certains symboles mathématiques pour plus de clarté.
Il est bien entendu que ce guide a pour but d’apporter une aide et non pas de faire votre travail à votre place.
J’espère que ce guide vous sera fort utile et que vous serez pleinement satisfait.
N’hésitez pas à me contacter en cas d’incompréhension ou d’erreur(s) éventuelle(s) de ma part.

(Je remercie Lostounet pour la précieuse aide qu'il m'a apportée sur ce projet)

Pour commencer, veuiller choisir votre rubrique de résolution :

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Veuillez choisir le type d'équation auquel vous êtes confronté :

1°) Equation polynômiale
2°) Equation rationnelle
3°) Equation irrationnelle
4°) Equation trigonométrique
5°) Equation valeur absolue
6°) Equation se ramenant à un changement de variable
7°) Equation Puissance
8°) Equation où figure des logarithmes népériens (ou naturels)
9°) Equation où figure des exponentielles
10°) Equation dans l'ensemble des complexes
11°) Equation diophantienne
12°) Equation où figure des PGCD et/ou des PPCM
13°) Equation différentielle
14°) Equation fonctionnelle
15°) Equation bizarre

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Veuillez choisir le type d'inéquation auquel vous êtes confronté :

1°) Inequation polynômiale
2°) Inéquation rationnelle
3°) Inéquation irrationnelle
4°) Inéquation trigonométrique
5°) Inéquation valeur absolue
6°) Inéquation se ramenant à un changement de variable
7°) Inéquation Puissance
8°) Inéquation où figure des logarithmes népériens (ou naturels)
9°) Inéquation où figure des exponentielles
10°) Inéquation bizarre

[Dinozzo13]

Veuillez choisir le type de système auquel vous êtes confronté :

1°) 2 équations à 2 inconnues
2°) 3 équations à 3 inconnues
3°) 4 équations à 4 inconnues
4°) Système plus complexes

[Dinozzo13]

1°) Equation polynômiale

Parmi les équations polynomiales, choisissez celle qui vous convient :

a) Trinome du second degré
b) Polynôme de degré 3 ou 4
c) Equation Bicarrée

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a) Trinôme du second degré

On appelle équation trinôme du second degré toute équation de la forme sinon ce n'est pas le cas. Soit une telle équation.
Au trinôme on associe un réel appelé discriminant défini par .
Par suite, suivant les valeurs des coefficients et , on distingue trois cas :
- Si alors l'équation admet deux solutions distinctes définies par :
et
- Si alors l'équation admet une solution :

- Si par conséquent :
et
Donc

2°) (, , )

par conséquent :

Donc

3°) ()

.
Or quel que soit par cosnéquent d'où donc admet nécessairement deux solutions distinctes.
De même, si et sont de signe différent alors , par conséquent, on a d'après la formule sur le produit des racines donc on peut affirmer que et sont de signe différent.
On retiendra donc que si alors admet deux solutions distinctes de signe différent.

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a) Polynôme de degré 3 ou 4

On appelle équation polynomiale de degré toute équation de la forme :
, avec
La famille de réels et sont appelés coefficients du polynôme .
Le degré d'un polynôme est égal au degré de son monôme de plus haut degré.
Exemples :
- , a le même degré que le monôme donc est de degré 5.
- , est de degré 0 car
- , c'est le polynôme nul, il n'a pas de degré.
Si et sont deux polynôme de degré respectifs et alors le polynôme est de degré
Exemple :
Si et alors est de degré 7+3=10
Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients :
Si et sont deux polynôme de même degré tels que :

et

alors équivaut à ; ; ... ; et .
Soit un polynôme de degré et un réel.
Si est une racine (ou un "zéro") d'un polynôme alors
Si est une racine (ou un "zéro") du polynôme alors il existe un Polynôme de degré tel que, pour tout réel :
Déterminer les racines d'un polynôme équivaut à résoudre
Pour trouver toutes les racines d'un polynôme, il faut d'abord commencer par trouver des racines dites évidentes, c'est-à-dire, qu'on calcule 4$ P(x) pour toutes les valeurs entières de comprises entre et, ensuite on se servira du trinôme du second degré.
Pour un polynôme de degré , il est nécessaire de trouver racines évidentes.
Enfin, un polynôme de degré admet dans au plus racines disitnctes.

Exemple :
Déterminer les racines du polynôme
est de degré 4 par conséquent, il faut trouver 4-2=2 racines évidentes.
si alors , donc n'est pas une racine de .
si alors , donc est une pas racine de .
si alors , donc n'est pas une racine de .
si alors , donc n'est pas une racine de .
si alors , donc est une racine de .
donc il existe un polynôme . de degré 4-2=2 tel que que pour tout réel :

avec
Déterminons alors les coefficients et :
Pour tout x réel :



Par identification, cela équivaut à :


Donc pour tout
On résous grâce au trinôme du second degré :
donc et
Donc

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c) Equation bicarrées

On appelle équation bicarrée, toute équation de la forme : .
Les équations bicarrées sont un cas particulier d'équations se ramenant à un changement de variable en posant .
Une fois ce changement de variable effectué, il n'y a plus qu'à résoudre une équation trinôme.

Exemple :
1°) Résoudre
On pose et on résous
donc et
Or donc on résous
et
Donc
2°) Résoudre
On pose et on résous
On peut voir une racine évidente :
Or d'après la formule sur le produit des racines : , donc
Ensuite, sachant que on résous et
donc ou
Or pour tout , l'équation n'admet donc aucune solution.
Donc

Remarques :
1°) Si et sont strictement positifs alors il n'y a pas de solutions.
2°) Si l'équation est "incomplète" on n'effectuera pas de changement de variable et on n'utilisera pas le discriminant.
Exemple :
-

ou ou

-

ou

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2°) Equation rationnelle

On appelle équation rationnelle toute équation de la forme :
où et désigne des polynômes et .
Attention : Ce genre d'équation peut-être écrite sous différente forme qu'il faut exprimer sous un dénominateur commun.
Exemple : (On suppose pour chaque équation le domaine établit)
- l'équation devient qui est bien une équation rationnelle
- l'équation a beau devenir elle est rationnelle.
- l'équation devient et est donc bien rationnelle.
- devient qui est bien rationnelle.
L'équation est dite rationnelle si et seulement si l'inconnue se trouve au dénominateur.
Ainsi, bien que l'équation n'admette aucune solution, elle est bien rationnelle.
Pour résoudre ce genre d'équation, on établit avant toute chose le domaine de définition de l'équation qui défini pour quelle(s) valeur(s) de l'inconnue, l'équation n'a pas de sens.
Rappel : Un dénominateur n'est jamais nul.
Ensuite, si l'équation ne se présente pas sous la forme alors il faut ordonner et réduire tout d'un même côté pour obtenir cette forme.
Enfin, quel que soit de l'ensemble , résoudre équivaut à résoudre .
Une fois les solutions trouvées, on vérifie bien qu'elles appartiennent à .
Exemple : Résoudre
1°)
Cette équation est définie si et seulement si
On résous donc et on trouve .
PAr conséquent, le domaine de cette équation est .
Pour tout de : équivaut à et on trouve donc ou .
Or n'appartient pas à donc
2°)
Cette équation est définie si et seulement si :
et
Par conséquent
Pour tout de : équivaut à
grâce au produit en croix




appartient bien à donc
3°)
Cette équation est définie si et seulement si n'est pas nul donc
Pour tout de : équivaut à





appartient bien à donc
4°)
Cette équation est définie si et seulement si et .
Par conséquent
Pour tout de : équivaut à

Il y a deux racines évidentes : et .
Par conséquent il existe un trinôme du second degré tel que, pour tout de :

avec
Pour tout de :




Par identification :


Donc
On résous
Il y a une racine évidente : or d'après la formule sur le produit des racines : , donc .
, et appartiennent bien à donc

[Dinozzo13]

3°) Equation irrationnelle

On appelle équation irrationnelle, toute équation de la forme , avec et deux expressions en fonction de , qui peut se ramener sous la forme d'une équation polynômiale de la forme .
Pour résoudre une équation de la forme équivaut à résoudre le système

Exemples : Résoudre :
1°)
Cela équivaut à résoudre
On résous :


Or est toujours vérifiée donc
2°)
Cela équivaut à résoudre
On résous :

donc :
ou
Or et donc
3°)
Cela équivaut à résoudre
On résous :


donc l'équation n'a pas de solution et donc le système non plus :

Remarque :
a) Il est inutile d'établir le domaine de A sous la racine.
b) Si l'équation n'admet aucune solution ou si l'inéquation n'est jamais vérifiée alors le système n'admet pas de solution

[Dinozzo13]

4°) Equation trigonométrique

On rappelle que quels que soient les réels x, a et b :










On rappelle également les valeurs reamrquables :


I : Equation de la forme

Si ou ou alors l'équation n'admet aucune solution.
Si alors il existe un unique réel de tel que : .
On résous ainsi
Cette équation équivaut à ou avec

III : Equation de la forme
(à venir)

Exemple : Résoudre dans
1°)
équivaut à
ou
Donc

2°)
équivaut à
ou
Donc

Remarque :
a) Pour résoudre des équations trigonométrique (tout comme les logarithmes) il faut impérativement arrivé à \cos ... = \cos ... ou \sin ...=\sin ...
b) Quel que fois, on demandera de résoudre dans un intervalle donné ce genre d'équation. On la résolvera d'abord dans R puis, suivant l'intervalle, on devra choisir une ou des valeurs de k pour lesquelles les solutions appartiennent à cet intervalle.
Exemple : Si on veut résoudre l'équation du 1°) dans alors on cherche les valeurs de l'entier k pour lesquelles .
Or on a établit que ou
Donc équivaut à
ou
On divise tout par :
ou
ou
ou
Or est un entier (appartient à )
Donc il n'y a qu'une valeur de k (k=0) pour laquelle l'éqation admet une solution dans qui est donc :
ou
Donc

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6°) Equation se ramenant à un changement de variable

On utilise parfois un procédé appelé changement de variable qui permet de résoudre plus facilement voire plus rapidement une équation en évitant des calculs fastidieux.
On peut noter que ce changement de variable concerne souvent le trinôme du second degré.
Voir également les équations Bicarrées

Exemples :
a) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre
b) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre
c) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre
d) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre
e) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre
f) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre car .
g) Pour résoudre , on peut effectuer le changement de variable puis résoudre

Remarque :
a) parfois dans certains exercices, le changement de variable à effectuer sera précisé.
b) avant d'établir le changement de variable, ne pas oublié d'établir le domaine s'il est nécessaire

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8°) Equation où figure des logarithmes népériens (ou naturels)

Il s'agit des équation où l'inconnue figure dans des "".
On rappelle que cette fonction est définie sur .
Quel que soit les réels strictements posititifs a et b,c,d,...,n :
équivaut à




Si désigne un entier relatif alors

Exemples : Résoudre :
1°)
Cette équation est définie si et seulement si et , donc .
Pour tout x de D :
équivaut à




Or 1 appartient bien à D donc

2°)
Cette équation est définie si et seulement si :
et et
donc et par conséquent .
Pour tout x de D :
équivaut à






équivaut à


par conséquent ou or n'appartient pas à D donc


a) Ne pas croire que les deux membres de l'inégalité ont le même domaine, est défini si et seulement si ab>0 alors que n'est défini que si et seulement si a>0 et b>0.
b) Ne prendre le logarithme d'un nombre qu'après s'être assuré au préalable qu'il est positif !

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