GROS probleme: fonction sinus polynomes et inégalités

par **ptit_ange772** » 21 Mai 2006, 13:31

bonjour, voila j'ai un dm a faire sauf que j'ai un gros probleme c'est que j'y comprend rien. merci de m'aider:

1) soit f(x)=sinx-x+x^3/6 ou x E R
calculer f '''(x) et montrer que la fonction f '' est croissante sur R

2)En déduire que, pour tout x E R+, sinx< ou =x puis montrer que f' est croissante sur R+

3) en deduire le signe de f'(x) pour tout x E R

4) montrer que f est croissante et positive sur R+. en déduire que pour tout x E R+: x-[(x^3)/6] < ou = sin x

par **allomomo** » 21 Mai 2006, 14:06

Salut,

1 -

par **ptit_ange772** » 21 Mai 2006, 14:20

merci beaucoup. et pour la suite une ptite idée??

par **ptit_ange772** » 21 Mai 2006, 14:24

en fait quand je le fait ( c'est le seul truc que j'ai reussi a faire) je trouve f'=cos x-1+(3x²/6)

par **ptit_ange772** » 21 Mai 2006, 14:26

désolé en fait c'est la meme chose, pardon!

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 16:43

slt f'''=-cosx+1 positif équiv à cosx sup à -1 or par définition cosx est toujours compris entre -1 et 1 donc f''' positive sur R équiv à f'' croissante sur R !
de plus f''(0)=0 donc f'' positive pour tt x de R+ équiv à x-sinx positif équiv à
x sup (ou = à) sinx ! ceci revient à dire que f'' est positive sur R+ et donc que f' est croissante sur R+ !

pour connaître le signe de f' sur R, il fo calculer les limites aux bornes et identifier par tatonnement sur la calculette les solutions de l'équation f'(x)=0 et conclure selon les valeurs de x quant o signe de f' ! @ +

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 16:47

reslt aprè avoir trouver le signe de f' tu en déduis les varations de f et son signe en calculant les limites o bornes ou alors en exhibant 1 réel négatif dont l'image par f est positive, c assez rapide ! tu as donc f positive sur R+ équiv à
sinx-x+x^3 /6 positif équiv à sinx sup (ou = à) x-x^3/6, CQFD ! @ +

par **ptit_ange772** » 21 Mai 2006, 17:26

merci ! merci ! merci !
le seu l problème c'est que ce dm conporte deux partie voila la seconde:

Etude de la convergence de deux suites:

soit (un)nEN* et (vn)nEN* telles que:
un= sin (1/n²) + sin ( 2/n²)+...+sin (n/n²)= somme sin (p/n²)

et vn=1/n² + 2/n² +...+ n/n² = somme (p/n²)

1) determiner une expression simple de somme p et en deduire que pour tout n E N*: vn= (n+1)/(2n)
Quelle est la limite de la suite (vn)
2) ezn utilisant les résultat de la partie précedente demontrer que, pour tout couple d'entiers n et p (avec n différent de 0):
(p/n²)-(p^3/6n^6) < ou = à sin(p/n²)< ou = à p/n²

3) en deduire que pour tout n E N*, un
4) en remarquant que chacun des termes de la somme suivante sont inferieurs a n^3, demontrer que:
1^3+2^3+...+n^3 < ou = a n^4

en deduire de pour tout n E N*:

vn-(1/6n²)< ou = a somme ( (p/n²)-(p^3/6n^6))

5) montrer que la suite (un)nE N* converge et determiner sa limite.

merci d'avance!!

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 18:40

reslt on a Vn=(1+2+...+n)/n^2 avec Fn=n suite arithmétique de 1er terme 1 et de raison 1 alors par définition Vn=n*(n+1)/2n^2=(n+1)/2n, aprè simplification, où n est le nombre de termes : 1+2+...+n et 1 et n les termes extrêmes !

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 18:53

pardon je navé pa lu la suite : la lim de Vn est facile à trouver j'te laisse le faire !
rq : en étudiant ses variations par le biais de la fct f=(x+1)/2x de dérivée f'=-1/2x^2 négative popur tt x de R-\{0} alors Vn décroissante pour tt n de N, et comme Vn admet 1/2 pour lim, alors Vn converge ! (mais c à titre indicatif)

pour démontrer l'inégalité demandée, sachant du I) que x-x^3/6 inf à sinx inf à x, alors tu poses x=p/n^2, la suite est assez rapide !
tu utilises cette inégalité, en posant successivement p=1,2,...n et tu sommes membre à membre toutes les inégalités pour obtenir finalement
1/n^2 -1/6n^6 +2/n^2 -8/6n^6 +...n/n^2 - n^3/6n^6 inf à sin(1/n^2)+...+sin(n/n^2) inf à 1/n^2 +... +n/n^2 donc on a bien Un inf à Vn (le premier membre ne nous intéresse pas pour le moment) !

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 19:07

ensuite pour la 4e inégalité, 2 raisonnements sont possibles : le premier : 1+2^3+...n^3 somme S des termes consécutifs de Gn=n^3 alors par définition S inf (ou =) à n*n^3, car n^3 est le plus grand terme, et donc, S inf à n^4
le second : par récurrence : Pn : 1+2^3+...+n^3 inf (ou =) à n^4, alors P1 est clairement vrai, on suppose donc que Pn est vraipour tt net on démontre que Pn est encore vrai o rang n+1 (hérédité), et Pn :
1+2^3 +...+n^3 inf à n^4 alors 1+2^3+...+n^3+(n+1)^3 inf à n^4 +(n+1)^3, de plus p=n^4+(n+1)^3-(n+1)^4=-n(3n^2 +3n +1) qui est du signe contraire de n, or n appartient à N donc n positif et p est négatif donc on a bien n^4 +(n+1)^3 inf à (n+1)^4 alors 1+2^3+...+(n+1)^3 inf à (n+1)^4 donc P(n+1) est vrai donc Pn est vrai et pour tt n de N, 1+2^3+...+n^3 inf à n^4 !

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 19:20

enfin pour le 4)b), on reprend l'inégalité du 2) et cette fois on s'intéresse o premier membre aprè la sommation, on s'aperçoit qu'il est donné par Vn-(1+2^3+...+n^3)/6n^6, or d'aprè 4)a), 1+2^3+...+n^3 inf à n^4, équiv à 1+3...+n^3/6n^6 inf à 1/6n^2, car 6n^6 positif et non nul car n non nul éuiv à son inver est aussi positif et non nul, puis en multipliant par -1 chaque membre et en ajoutant Vn, on a : Vn-1/6n^2 inf à Vn-(1+...+n^3)/6n^6, CQFD !

par **Daragon geoffrey** » 21 Mai 2006, 19:21

enfin pour montrer que Un converge tu utilises l'inégalité suivante : Un inf (ou =) à Vn et comme lim Vn=0.5, alors par définition Un converge ! @ +

par **ptit_ange772** » 22 Mai 2006, 18:12

merci bokou bokou bokou!!

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