Gros problème TS exponentielle/intégrale/Suite

[Matheux68]

Bonsoir,
J'ai un énorme soucis pour résoudre ce problème ...
Le voici:

On considère la suite (In) définie pour n(>=1) , par In=(intégrale entre 0 et 1 )(e^(nx))/(e^(x)+1) dx
Démontrer que la suite (In) est convergente .

Alors j'ai conjecturé à l'aide de géogebra que la suite est croissante :
Pour n=1 0.620
Pour n=2 1,0982
Pour n=3 2,0963
Pour n=4 4,265

Pour voir si elle converge , j'ai essayer de faire pour n=60 et j'ai eu 2x10^9 donc elle ne semble pas avoir de majorant donc converger puisqu'elle semble tendre vers + l'infini donc c'est pour ça j'ai un peu de mal à comprendre ce problème !
Déjà j'ai prouvé que pour n=1 que la fonction est croissante et donc pour tout n(>=1) la fonction est strictement croissante ( normal c'est l'exponentielle ) ainsi l'intégrale est aussi croissante mais pour moi elle diverge, elle ne converge pas ... Sachant que nous n'avons pas abordé le Logarithme népérien ainsi que les fonction trigo, alors il faudrait trouver un moyen de s'en passer ... :mur:

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance !!

[SaintAmand]

ainsi l'intégrale est aussi croissante

Ce n'est pas l'intégrale qui est croissante mai la suite (I(n)).

mais pour moi elle diverge, elle ne converge pas ...

Pareil, ce n'est pas l'intégrale qui diverge, mais la suite.
onsoir,
est strictement croissante ( normal c'est l'exponentielle

Sachant que nous n'avons pas abordé le Logarithme népérien ainsi que les fonction trigo, alors il faudrait trouver un moyen de s'en passer

Pas grave, il faut être tordu pour utiliser la trigo ici onsoir,
est strictement croissante ( normal c'est l'exponentielle


La suite diverge, pour le montrer il suffit de la minorer par une suite clairement divergente. Pour minorer une intégrale il suffit de minorer l'intégrante, et pour minorer le quotient il suffit de majorer son dénominateur.

Étes-vous certain que le numérateur de l'intégrante est e^{nx} et pas plutôt e^{-nx} ? En effet, avec e^{-nx}, la suite est bien convergente.

[Matheux68]

Ce n'est pas l'intégrale qui est croissante mai la suite (I(n)).



Pareil, ce n'est pas l'intégrale qui diverge, mais la suite.
onsoir,
est strictement croissante ( normal c'est l'exponentielle


Pas grave, il faut être tordu pour utiliser la trigo ici onsoir,
est strictement croissante ( normal c'est l'exponentielle


La suite diverge, pour le montrer il suffit de la minorer par une suite clairement divergente. Pour minorer une intégrale il suffit de minorer l'intégrante, et pour minorer le quotient il suffit de majorer son dénominateur.

Étes-vous certain que le numérateur de l'intégrante est e^{nx} et pas plutôt e^{-nx} ? En effet, avec e^{-nx}, la suite est bien convergente.

Oui c'est vrai ! Je ne suis pas très rigoureux désolé !! Je viens de vérifier l'énoncé et non c'est bien cette fonction e^{nx} ...
Cdt

[Matheux68]

Oui c'est vrai ! Je ne suis pas très rigoureux désolé !! Je viens de vérifier l'énoncé et non c'est bien cette fonction e^{nx} ...
Cdt

Ahhhhh je viens de retrouver un message du prof qui nous dit que c'est e^{-nx} ! :lol3:
Vous aviez raison !!

[Matheux68]

Bonjour !
Alors j'ai refais une conjecture, pour In=(intégrale entre 0 et 1) (e^(-nx))/((e^x)+1) et cela me donne :
Pour n=1 -->0,2522
Pour n=2 --> 0,1801
Pour n=3 --> 0,1366
Pour n=4 --> 0,1088

Je suppose donc que ma suite est ( cette fois-ci) décroissante. Ainsi elle semble tendre vers 0 car pour
n=99 --> 0,005. Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?), que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0 et c'est là mon problème ! Je n'arrive pas du tout à la faire ...
Déjà ce que je cherche à démontrer est que P(n): "(In)>ou = à 0" ? C'est bien ça ?
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci !

[SaintAmand]

Je suppose donc que ma suite est ( cette fois-ci) décroissante. Ainsi elle semble tendre vers 0 car pour
n=99 --> 0,005.

Le fait que le 99ème terme de la suite ait une valeur proche de 0 n'est pas suffisant pour conjecturer que la suite tend vers 0. Ce qui permet de le conjecturer c'est le comportement des 99 premiers termes de la suite.

Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?),

Pourquoi donc ? Toute propriété qui est vraie sur l'ensemble des entiers naturels ne se démontre pas nécessairement à l'aide d'une démonstration par récurrence. Regardez plutôt le signe de l'intégrante.

que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0

-1, -1000, ... sont aussi des minorants.

[busard_des_roseaux]

bonjour,
le dénominateur est compris entre 2 et 4.