Géométrie pour les bons bons

[oraange]

Bonjour,
Voila un exercice assez compliqué pour moi
J'espère que vous pourrait m'aider a résoudre cet exercice

C est le cercle de diamètre [AB] et de centre 0. A tout point M de C ,distinct de A et de B, on associe les points N et P images de M par les rotations d'angle +/2 et de centres respectifs A et B. I est le milieu du segment [NP]

-On cherche à démontrer que I appartient au cercle C et que les droites (OM) et (OI) sont perpendiculaires.

1.Expimer le vecteur OM en fonction des vecteurs AM et BM. En déduire OM² en fonction de AM² ET BM²

2.Montrer que OI²=1/4(AN²+BP²)

3.Démontrer que le produit scalaire OM.OI=0

4.Conclure

Merci d'avance de votre aide

[Calo]

Pour la première question, on a :

(Vecteur OM) = ((Vecteur AM) + (Vecteur BM)) / 2

Ainsi :

(Vecteur OM)² = [((Vecteur AM) + (Vecteur BM)) / 2]²
(Vecteur OM)² = (Vecteur AM)²/4 + (Vecteur BM)²/4 + (2 (Vecteur AM).(Vecteur BM))

comme les vecteurs AM et BM sont orthogonaux, on a :

(Vecteur OM)² = (1/4) [(Vecteur AM)²+(Vecteur BM)²]