Géométrie plane

[PhilT]

Bonjour,
pouvez-vous m'aider à terminer cet exercice svp ?

Soit un triangle quelconque ABC, à partir duquel on construit :
- Le carré AMNB
- Le carré ACQP.

1/ Démontrer que MC = BP (fait, à l'aide du théorème d'Al Khashi)

2/ Démontrer que (MC) et (BP) sont perpendiculaires

Je n'arrive pas à répondre à la question 2. J'ai noté que B et P peuvent être considérés comme les images resp. de M et C par une rotation de centre A et d'angle orienté , mais je n'arrive pas à établir l'orthogonalité des 2 droites.

Merci de m'indiquer comment faire.

[Black Jack]

Une façon parmi d'autres :



Tout ce qui suit est en vecteurs (mais je ne mets pas les flèches)

MC = MA + AC
BP = BA + AP

MC.BP = (MA + AC).(BA + AP)
MC.BP = MA.BA + MA.AP + AC.BA + AC.AP
MC.BP = 0 + MA.AP + AC.BA + 0
MC.BP = MA.AP + AC.BA
MC.BP = -AM.AP - AC.AB
MC.BP = - (AM.AP + AC.AB)

MC.BP = - [|AM|*|AP| * cos(MAP) + |AC| * |AB| * cos(CAB)]

Mais, on a : |AM| = |AB| et |AP| = |AC| --->

MC.BP = - |AM|*|AP| * [cos(MAP) + cos(CAB)] (1)

Avec M,A et R alignés :
angle(CAB) = angle(RAP) (cotés perpendiculaires 2 à 2)

angle(MAP) = angle(MAC) + angle(CAB) + angle(BAP)
angle(MAP) = angle(MAC) + angle(RAP) + angle(BAP)

Or angle(MAC) + angle(CAB) + angle(RAP) + angle(BAP) = 180°
angle(MAC) + angle(RAP) + angle(BAP) = 180° - angle(CAB)

--> angle(MAP) = 180° - angle(CAB)

dans(1) --> MC.BP = - |AM|*|AP| * [cos(180° - angle(CAB)) + cos(CAB)]

MC.BP = - |AM|*|AP| * [-cos(CAB) + cos(CAB)]

MC.BP = 0

Le produit scalaire de vect(MC) et vect(BP) est nul et donc (MC) est perpendiculaire à (BP)

:zen:

[PhilT]

Pas évident ; merci beaucoup pour cette réponse détaillée

[zygomatique]

salut

REM : il y a quatre façons de construire les deux carrés ....

[t.itou29]

Bonjour,
pouvez-vous m'aider à terminer cet exercice svp ?

Soit un triangle quelconque ABC, à partir duquel on construit :
- Le carré AMNB
- Le carré ACQP.

1/ Démontrer que MC = BP (fait, à l'aide du théorème d'Al Khashi)

2/ Démontrer que (MC) et (BP) sont perpendiculaires

Je n'arrive pas à répondre à la question 2. J'ai noté que B et P peuvent être considérés comme les images resp. de M et C par une rotation de centre A et d'angle orienté , mais je n'arrive pas à établir l'orthogonalité des 2 droites.

Merci de m'indiquer comment faire.

Salut,
Tu l'as montrée non ? Tu viens de prouver que la rotation de centre A et d'angle Pi/2 transforme (MC) en (BP), c'est donc qu'elles sont perpendiculaires :lol3: (au passage ça montre aussi que MC=BP)

[beagle]

salut

REM : il y a quatre façons de construire les deux carrés ....

héhé c'est génant alors,
car si on a toujours égalité de deux cotés
AC = AP
AB =AM
l'égalité des angles CAM et BAP ne sera respectée que dans 2 cas sur 4,
si CAM = 90 + ou - CAB = BAP
donc les triangles ACM et ABP ne seront pas toujours isométriques ...

[PhilT]

Salut,
Tu l'as montrée non ? Tu viens de prouver que la rotation de centre A et d'angle Pi/2 transforme (MC) en (BP), c'est donc qu'elles sont perpendiculaires :lol3: (au passage ça montre aussi que MC=BP)

Bah oui, il y a des fois......