Géométrie et nombres complexes

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Vanilla
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Géométrie et nombres complexes

par Vanilla » 16 Jan 2018, 22:52

Bonsoir je suis Vanilla et j'ai 16 ans, je suis en terminale scientifique et je vous sollicite afin de m'aider.

J'ai un exercice à effectuer pour Vendredi en guise d'entraînement pour un futur contrôle. 

Voici l'énoncé : 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ;  ;  ) (  il y a des flèches sur le u et le v ).  On considère deux points distincts A et C d'affixes respectives a et c.  On suppose que les points O, A et C ne sont pas alignés. On note B et D les points d'affixes respectives b = - i a et d = i c. 

1 )  Dans cette situation, on suppose que a = 3 + 1/4 i et c = 1/2 - sqrt  ( 3 ) / 2 i.  Sur une figure, placer et construire ( c'est-à-dire à la règle non graduée et au compas ) lorsque nécessaire les points O, A, B, C et D. On justifiera les constructions de B, C et D. 

Dans les questions suivantes, on revient au cas général. On suppose que les points B et C sont distincts et donc A et D le sont aussi.

2 )  calculer les affixes des vecteurs AB et BC (  il y a une flèche ). Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont perpendiculaires. 

3 ) On désigne par I le milieu du segment [ AC ]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l'on précisera, démontrer que la médiane ( OI ) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que DB = 2 OI. 

4 ) La médiane issue de O du triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse. 

Ce que j'ai fait : 

1 ) J'ai placé les points sur mon repère en lien avec ce qui est donnée dans l'énoncé. Je ne peux pas vous montrer car je ne sais pas comment faire. 

2 ) Calcul des affixes, 
AB ( flèche ) = zD - zA  = -ic - a 
BC ( flèche ) = zC - zB = c + ia 

Calcul des longueurs,
AD ( flèche ) = l zD - zA  l = l ic - a l = √((ic)²+ ( -a) ²) = √( - c² + a ²). 
BC ( flèche ) = l zC - zB l = l c + ia l = √((c)² + ( ia ) ²)= √( c² - a² ).  

Perpendiculaire,
J'ai utilisé la définition, AD et BC sont perpendiculaires si et seulement si (AD; BC) = π/2 + kπ ( k € Z ).
J'ai donc c'est l'argument ((zC-zB) /(zD-zA)).
Cela revient à montrer que ce complexe est un imaginaire pur.

3 et 4 je ne vois pas comment faire et je ne sais pas si mes calculs précédents sont bons. J'espère que quelqu'un pourra m'éclairer afin de résoudre cette exercices pour un futur contrôle. Merci d'avance. Cordialement.



willy103
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Re: Géométrie et nombres complexes

par willy103 » 17 Jan 2018, 21:05

Bonjour à toi

Je vois que tu as fait des démarches normales. Cependant il y a quelque part des erreurs de calcul. Tu pourra conclure par ceci: (AD) et (BC) sont perpendiculaire ssi le produit scalaire des vecteurs AD et BC est nul.

En effet , vecteur AD = (- (3+sqr3/2), 1/4) , vecteur BC = (1/4 , (3+sqr3/2) ) et donc
AD . BC = -3/4 - sqr3/8 + 3/4 + sqr3/8 = 0. Ceci prouve que les (AD) et (BC) sont perpendiculaire.

Verifier aussi que tu as A (3 , 1/4) B (1/4 , - 3) C (1/2 , sqr 3 /2) et D (- sqr 3/2 , 1/2)

willy103
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Re: Géométrie et nombres complexes

par willy103 » 17 Jan 2018, 23:11

Salut Vanilla,

Avec la formule que tu as utilisée , il faut que détermine un point commun ( H) entre les droites (BC) et (AD) alors seulement tu pourra formuler arg ( (Zb -Zh)/(Za-Zh)) = + ou - (pi/2).

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zaal
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Re: Géométrie et nombres complexes

par zaal » 18 Jan 2018, 11:54


willy103
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Re: Géométrie et nombres complexes

par willy103 » 18 Jan 2018, 20:25

Salut Vanilla,

Pour la 3eme partie, montrer que (OI) et (BD) sont perpendiculaire avec I (7/4 , (1+2sqr3)/8). Tu trouveras le produit scalaire des vecteurs OI et BD = (7 +14sqr3)/16 - (7 +14sqr3)/16 = 0 donc (OI) est perpendiculaire à (BD) par suite faisant partie à la hauteur du triangle (ODB) , puis prolonge le segment OI sur le coté BD ,appelle ce point H ; il divise le triangle ODB en deux triangles semblables , cela doit t'aider à établir que DB = 2 OI.

 

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