Géométrie niveau seconde

[JulienP1985]

Bonjour,
Je suis en train d'aider un élève de seconde sur un devoir. Les deux premières questions sont très faciles, mais la dernière me pose des problèmes et j'avoue en avoir honte...
Voici l'énoncé :
"On considère un triangle ABC isocèle en A avec BAC=30°.
On désigne par I le milieu de [BC]et par H et K les projetés orthogonaux de B et I sur (AC)
1) Montrer que K est le milieu de [HC]
2) En déduire 2 AK = AH+AC, puis 2 cos² 15° = cos 30° + 1"

Je bloque à "montrer que cos²(15°) = cos 30° + 1".
Pouvez vous au moins me donner une piste serieuse ? J'ai cherché durant 2 heures...L'eleve en question n'a vu que la formule "cos²(x) + sin²(x) = 1".

Cordialement,

Julien

[Ericovitchi]

tu as montré que "K est le milieu de [HC]" ?
En fait, BCH est rectangle et I milieu de l’hypoténuse donc IH=IB=IC donc ICH est isocèle et IK qui est une hauteur est aussi une médiatrice donc KC=KH.

AH+AC = (AK-KH)+(AK+KC)= 2AK


AH / AB = cos 30° (dans le triangle AHB)
AK/AI = cos 15° (dans le triangle AKI) et AI/AC = cos 15° (dans le triangle AIC)
donc AH+AC=2AK s'écrit AB cos 30° + AC = 2AI cos 15° = 2 (AC cos 15°) cos 15°
comme AB=AC on peut simplifier par AC et ça donne
Cos 30° + 1 = 2 cos² 15°