Geométrie ... Métrique . Aucune urgence

[Dr Neurone]

Bonjour à tous ,
J'ai un petit problème qu'on m'a posé il y a une trentaine d'années auquel je n'ai toujours pas apporté de solution ; je sais désormais que sur ce forum on rencontre des esprits au demeurant fort sympathiques et qui j'en suis sur mettront fin à mes tourments. Voici donc le pb élémentaire :
On considère une échelle d'une certaine longueur l (disons 8m pour fixer les idées) appuyée contre un mur .Sachant que cette échelle passe par un point situé à 1m du sol et du mur il s'agit de trouver les distances du pied du mur aux 2 extrémités de léchelle .
(A priori il existe 2 positions possibles , les solutions étant permutables).
Voilà .Il n'y a rien à gagner si ce n'est ma reconnaissance .Merci et à vous de jouer .

[Fred_Sabonnères]

L'échelle est en contact avec le sol en x
L'échelle est en contact avec le mur en y
Soit l'angle compris entre l'axe horizontal et l'axe de l'échelle

et si on prend L=8

On doit donc résoudre le système




On pose

Equation du 2eme degré avec
On en déduit
Donc


On doit donc résoudre

On obtient 2 solutions


et

[Dr Neurone]

L'échelle est en contact avec le sol en x
L'échelle est en contact avec le mur en y
Soit l'angle compris entre l'axe horizontal et l'axe de l'échelle

et si on prend L=8

On doit donc résoudre le système




On pose

Equation du 2eme degré avec
On en déduit
Donc


On doit donc résoudre

On obtient 2 solutions


et

Bon sang mais c'est bien sur ! je n'ai jamais pensé à utiliser la tg , je me suis longtemps perdu dans des relations qui m'ont conduit à du 3ème voire 4ème degré ...et de décénies en décénies ( je suis sérieux en plus) ce problème me revenait chroniquement à l'esprit . Je peux désormais mourir en paix . Merci à toi Fred !