Géométrie dans l'espace

[Soussou]

Bonjour,

Voici l'exercice dont j'ai besoin d'aide. Je ne sais pas par où commencer:

Soit ABCEDFGH un pavé droit tel que AD= 2AB et AE = AB, et soit I milieu de [AD].
Calculer le volume du tétraèdre GFIH de deux façons différentes afin de déterminer la longueur GK, où K est le projeté orthogonal de G sur le plan (FIH).
Figure exigée.

J'ai fait la figure. En fait le pavé droit ici est un cube puisque AE = AB.
Je sais que le volume du tétraèdre est BasexHauteur.
J'ai pris comme base le triangle HGF rectangle en G donc l'aire est égale à HG x GF = AB²
Par contre je ne sais pas quoi prendre comme hauteur du tétraèdre?
Et quelle est la deuxième méthode?
Comment trouver GK?

Merci pour votre aide.

[Soussou]

Je me suis replongée sur cet exercice et finalement, le pavé droit n'est pas un cube comme je l'ai dit auparavant.
Ce pavé a ses bases carrées et ses faces latérales rectangulaires dont la longueur est égale à (je l'ai trouvé en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AED rectangle en E.
J'ai ensuite calculé l'aire de la base du tétraèdre GFIH et j'ai trouvé AB²
J'ai du mal à trouver sa hauteur.
Pour le point K, pour moi, comme c'est le projeté orthogonal de G sur (FIH), donc K appartient à (FIH). Or, notre prof, nous a montré comment on devait trouver le schéma, et elle l'a mis en dehors du plan (FIH)???
J'ai vraiment besoin de votre aide, en vous remerciant par avance.
Mon dessin est tel que la base du dessous est ABCE avec [AB] l'arête de devant et [EC] l'arête cachée. Et HGFD la face du dessus avec [HG] l'arête de devant et [DF] celle derrière.

[siger]

bonjour

dans le calcul du volume a partir de la base HGF la hauteur est le cote du pavé AD perpendiculaire au plan HGEF

attention un plan ne se limite pas aux points de definition: le point K est effectivement en dehors du triangle FIH, mais il est bien dans le plan (FIH)........

[Soussou]

Merci pour ta réponse. Mais je suis toujours perdue:
Je n'ai pas assez d'imagination dans la géométrie dans l'espace
Je ne vois pas c'est quoi cette hauteur????
HGEF est un autre tétraèdre de sommet principal E et de base HGF, comment trouvé la mesure de cette hauteur?
Pour le plan (FHI) je sais que ce n'est pas uniquement le triangle FHI mais pourquoi K ne peut-il pas se trouver à l'intérieur de ce triangle? Comment trouver exactement sa position?

[siger]

re

le volume du tetraedre est defini par l'aire du triangle GHF (dans le plan superieur EFGH)
et par sa hauteur qui est la distance de I au plan de base. I etant dans le plan ABCD la hauteur est alors la distance des deux plans ABCD et EFGH, soit AE par exemple.......

[Soussou]

Je ne comprends toujours pas désolée...
Pourquoi I serait dans le plan ABCD? I étant le milieu de [AD], donc I est dans le plan AEDH non?

[siger]

re

Je ne comprends toujours pas désolée...
Pourquoi I serait dans le plan ABCD? I étant le milieu de [AD], donc I est dans le plan AEDH non?

exact, mais AD est l'intersection des plans ABCD et AEDH, .......

remarque: aire GHF = (GF)*(GH)/2 = (AD*CD)/2= (2AB)*(AB)/2 = AB²
d'ou V = AB² *AB/3= AB³/3

dans la question suivante il y a en fait deux questions
1-calculer GK avec V = aire (IFK)*GK/3, ....
les calculs montrent que le triangle IFK est isocele in F, d'ou .......
2- placer K sur le dessin ( là, je cale pour le moment )

[Soussou]

Ok pour [AD] intersection de ABCD et AEDH et pour aireGHF = (GF)*(GH)/2 mais après pourquoi t'as remplacé GF par AD et GH par CD?
Pour moi AD = CD = 2AB or GF = GH = AB???
Ensuite la hauteur doit être issue de I perpendiculairement sur HGF. Comme I est le milieu de [AD] donc la distance de I à HGF est égale à AI = AB est-ce bien ça?

[siger]

re

Ok pour [AD] intersection de ABCD et AEDH et pour aireGHF = (GF)*(GH)/2 mais après pourquoi t'as remplacé GF par AD et GH par CD?
dans un pave ou un cube les aretes opposées sont egales
Pour moi AD = CD = 2AB or GF = GH = AB???
GF =AD = 2*AB
GH = AB
voir au dessus
Ensuite la hauteur doit être issue de I perpendiculairement sur HGF. Comme I est le milieu de [AD] donc la distance de I à HGF est égale à AI = AB est-ce bien ça?
la hauteur est la distance de I au plan GHF
comme I est dans le plan AEHD (perpendiculaire au plan HGF) et dans le plan ABCD, la hauteur est egale a la distance des deux plans paralleles i.e. a AE ou DH

[Soussou]

Je viens de comprendre pourquoi je ne te comprenais pas: en fait, j'ai mal placé mes points du carré de dessus, j'avais placé D tel que [AD] formait la diagonal de AEHD.
J'ai corrigé mon erreur et là je suis d'accord avec les égalités des longueurs que tu m'a proposé.
Je vais essayer maintenant de calculer le volume de deux manières.
Si j'ai encore des soucis, permets-moi de te déranger encore: la géométrie dans l'espace est ma bête noire...
Merci encore

[Soussou]

dans la question suivante il y a en fait deux questions
1-calculer GK avec V = aire (IFK)*GK/3, ....
les calculs montrent que le triangle IFK est isocele in F, d'ou .......
2- placer K sur le dessin ( là, je cale pour le moment )

Je ne vois toujours pas où se trouve K.
K est le projeté orthogonal de G sur (FIH) cela veut dire que (GK) est orthogonale au plan (FHI) n'est-ce pas?
Et cela veut dire aussi que (GK) est perpendiculaire à toute droite de (FHI), c'est ça?
Si cela est juste, je peux dire alors que (GK) est perpendiculaire à (HF) (puisque (HF) est incluse dans (FIH)) et comme GH=GF alors (GK) est la médiatrice de [HF] et donc K est à égale distance du milieu de [HK] que G l'est.
Est-ce que je raisonne juste ou pas?

Au fait peux-tu me dire quand utilise-t-on le mot orthogonal et perpendiculaire, c'est quoi la différence?

[Soussou]

J'ai normalement placé le point K sur le schéma (il est légèrement en dessous de D mais pas sur une artère. Je ne vois pas comment calculer le volume du tétraèdre avec GK???

[Soussou]

Bonjour,

1-calculer GK avec V = aire (IFK)*GK/3
Je ne vois pas pourquoi V = aire (IFK) x GK/3 ni comment calculer aire (IFK) et GK?
les calculs montrent que le triangle IFK est isocele in F
Comment?

[siger]

re

beaucoup de questions

orthogonal dans l'espace (plans orthogonaux par exemple) et perpendiculaire dans le plan (droites perpendiculaires)
1- une droite n'est pas orthogonale a un plan si elle est perpendiculaire a UNE droite du plan mais a DEUX
2- dans le triangle rectangle on ABI on a IB²= AB² +AI² d'ou IF²=BF²+IB² = AB²+AI² +BF²= 3AB²
dans le triangle FGH on a FH² = FG² + GH² = (2AB)² + AB² = 5AB²
dans le triangle HDI on a HI²=HD² + DI² = 2AB²

par suite (contrairement a ce que j'ai dit precedement) FH² = HI² + IF²
le triangle est donc rectangle en I et son aire est IF*HI/2 = AB²V(6)/2 (a verifier)
on doit alors avoir
AB²V(6)*GH/6 = AB³/3
......

[Pseuda]

Bonjour,

Pour moi, perpendiculaire et orthogonal c'est pareil, sauf que dans perpendiculaire, il y a l'idée qu'ils (elles) se coupent, et dans orthogonal, il y a surtout l'idée de direction.

Par exemple, dans le plan les droites sont perpendiculaires, et dans l'espace, elles sont orthogonales, et perpendiculaires si elles se coupent en un point.

[Soussou]

re

beaucoup de questions
C'est pour ça que je suis là

2- dans le triangle rectangle on ABI on a IB²= AB² +AI² OK
d'ou IF²=BF²+IB² = AB²+AI² +BF²= 3AB² Pourquoi? Le triangle IBF n'est pas rectangle en B, il est isocèle en I. On ne peut donc pas utiliser Pythagore???
dans le triangle FGH on a FH² = FG² + GH² = (2AB)² + AB² = 5AB² FG = HG = AB donc on trouve 2AB²
dans le triangle HDI on a HI²=HD² + DI² = 2AB² OK


......

[Soussou]

re


2- dans le triangle rectangle on ABI on a IB²= AB² +AI² d'ou IF²=BF²+IB² = AB²+AI² +BF²= 3AB²
dans le triangle FGH on a FH² = FG² + GH² = (2AB)² + AB² = 5AB²
dans le triangle HDI on a HI²=HD² + DI² = 2AB²

par suite (contrairement a ce que j'ai dit precedement) FH² = HI² + IF²
le triangle est donc rectangle en I et son aire est IF*HI/2 = AB²V(6)/2 (a verifier)
on doit alors avoir
AB²V(6)*GH/6 = AB³/3
......

Où est K dans tous ces calculs? Je ne vois pas à quoi ça sert de démontrer que FIH est rectangle? et c'est quoi V(6)?

[Pseuda]

Bonjour,

As-tu calculé le volume du tétraèdre à partir de sa base GFH et sa hauteur issue de I ?

Si oui, tu peux exprimer le volume du même tétraèdre à partir de sa base HFI et de sa hauteur issue de G, soit GK.

Une fois que cela est fait, il te suffit de calculer l'aire du triangle HFI pour trouver GK.

[Soussou]

Bonjour,

As-tu calculé le volume du tétraèdre à partir de sa base GFH et sa hauteur issue de I ?
Aire de la base GFH = HGxGF = AB².
Ensuite je ne suis pas sûre pour la hauteur qui est la distance de I à GFH. Appelons cette distance IO:
[IO] est orthogonal à GFH si il est orthogonal à deux droites sécantes de GFH.
Je sais que I appartient à AEHD et à ABFD et comme GFH est unclus dans DFGH et que AEHD est orthogonal à DFGH alors IO = ID = AB ???

[siger]

re

oui, mais assez compliqué!
la base (FGH) est dans le plan [EFGH]
le point I est dans le plan parallele [ABCD]
donc la hauteur (perpendiculaire aux deux plans) est egale a la distance des deux plans, soit une arete AE=DH=AB

V(6) = racine carrée de 6
le fait que le triangle FIH est rectangle en I permet de calculer simplement son aire A=IH*IF/2=AB²V(6)/2
d'ou
V = (AB²V(6)*GK/6)et non AB²V(6)*GH/6 comme je l'ai indiqué par erreur.......