Géométrie dans l'espace

[Sayan]

Bonsoir à tous,

J'ai quelques interrogations auxquelles je n'arrive à répondre. Pourriez-vous y jeter un coup d'oeil ?

Soit l'équation d'un plan et l'équation d'une droite

a) Calculez le vecteur directeur de la droite.

b) Une des expressions suivantes est exactes, laquelle ? Justifiez.
[INDENT]1) contient
2) est perpendiculaire au plan
3) est parallèle au plan [/INDENT]

J'ai une question pour la question a), y a-t-il une infinité de réponse ? Toutes étant proportionnelles l'une de l'autre.

J'ai trouvé comme réponse (-4,1,-1) est utilisant la méthode avec les déterminants, et en utilisant une méthode de substitution, je trouve (2,-1,1). Les deux réponses sont égales à un coefficient prés.

Pour la 2e question, avec plusieurs raisonnements différents, je trouve qu'aucune des affirmations n'est juste. Pourtant, il y en a bien une qui est juste selon l’énoncé.

En résolvant le système 3x3, je trouve un seul point de percé entre le plan et la droite donc la proposition 1 et 3 sont fausses. Donc la 2e devrait être juste. Mais le vecteur normal du plan n'est pas parallèle au vecteur directeur de la droite, ce qui me laisse dire que la droite n'est pas perpendiculaire au plan.

Selon moi, c'est une droite qui perce le plan sans être perpendiculaire à celui-ci.

Merci d'avance de votre aide.

[Ericovitchi]

Bonjour,
Si tu résous le système formé par les équations de D, tu trouves
x=x
y=-2x+3
z=-x+1
donc un vecteur directeur serait plutôt (1;-2;-1) et évidemment comme tu l'as dit, tout vecteur proportionnel à celui-là est également bon.

Ensuite si tu fais l'intersection de cette droite écrite sous formes d'équations paramétriques avec le plan, ça donne x-(-2x+3)+3(-x+1)+1=0 soit 1=0. Ça te montre qu'il n'y a pas d'intersection et tu peux en déduire que la droite est parallèle au plan;

[Iroh]

Salut,

je trouve la même conclusion que toi: la droite D est une droite ni perpendiculaire, ni horizontale au plan .

Pour avoir l'équation de la droite, tu résous le système: (ici par rapport à z):
x = 2*a + 1
y = -a + 1
z = a

Où a est un paramètre réel (droite = 1dimension, donc un seul paramètre).

Un vecteur directeur est donc d = (2, -1, 1).

Un vecteur normal au plan vaut p = (1, -1, 3).

Pour savoir si la droite est orthogonale au plan, on fait le produit scalaire , on a: = 6. Ce qui est différent de 0, donc le plan et la droite ne sont pas orthogonaux.

Pour voir si la droite est incluse dans le plan, il faut vérifier que tout point de la droite appartient au plan, càd: (2a+1) - (-a + 1) + 3a + 1 = 0, pour tout a, ce qu'on a pas. À partir de cette équation on peut trouver un point d'intersection en a = -1/6, càd en (x, y, z) = (2/3, 7/6, -1/6).

Comme il y a un point d'intersection et que la droite n'est pas incluse dans le plan, elle n'est pas parallèle à lui.

Sauf erreur =)