Géométrie dans l'espace : plans

[Mathis48]

Bonjour, je suis en terminale S et j'ai donc l'exercice suivant sur lequel je rencontre quelques difficultés surtout sur la deuxième partie.

Le but est de démontrer le théorème 2 du cours : Si P et P' sont deux plans parallèles et distincts alors tout plan Q qui coupe P coupe aussi P'. De plus les droites d'intersections d et d' sont parallèles.
Le raisonnement par l'absurde consiste a ajouter aux hypothèses de l'énoncé une hypothèse supplémentaire. Cette hypothèse est la négation de la conclusion. Le but est d'obtenir une contradiction, cela prouve que la conclusion est vraie.

1) Ici les hypothèses sont :
- P et P' sont 2 plans parallèles et distincts
- Le plan Q coupe le plan P
Conclusion : Le plan Q coupe aussi le plan P'
Ajoutons l'hypothèse : Le plan Q ne coupe pas le plan P'
a) Que dire de Q et de P' ?
Ma réponse : On peut dire de Q et de P' qu'ils sont parallèles non confondus.
b) En utilisant l'hypothèse 1 qu'en déduire pour Q et P ? Quelle est la contradiction ?
Ma réponse : On suppose que P//P' et Q//P' donc Q//P (Q,P,P' sont distincts). La contradiction est : Q ne peut pas être parallèle à P puisque l'hypothèse nous dit que P et Q se coupent.
c) Concluez
Ma réponse : Donc P et P' sont deux plans parallèles et distincts et le plan Q coupe le plan P.

2) On veut démontrer que d et d' sont parallèles. On suppose donc qu'elles ne le sont pas.
a) Pourquoi les droites d et d' sont elles sécantes ? --- Je n'arrive pas à le démontrer et c'est ici que j'ai besoin d'aide.
b) On note I leur point d'intersection. Prouvez que I est commun à P et P' puis concluez.


Merci à ceux qui prendront un peut de leur temps à m'expliquer la deuxième partie de l'exercice.

[mathelot]

les droites d et d' sont coplanaires.

deux cas possible pour des droites coplanaires

- elles sont parallèles (éventuellement confondues)
- elles sont sécantes. ici c'est impossible

[Mathis48]

les droites d et d' sont coplanaires.

deux cas possible pour des droites coplanaires

- elles sont parallèles (éventuellement confondues)
- elles sont sécantes. ici c'est impossible

Donc à la question "pourquoi sont elles sécantes ?" il faut juste dire qu'elles sont coplanaires ?

Du coup comme elles sont coplanaires le point I est commun a P et P'.
La conclusion est qu'elles sont parallèles puisqu'elles ne peuvent pas être sécantes.

[mathelot]

non, d et d' sont coplanaires dans le plan Q.
ensuite on en tire une conclusion absurde concernant P et P'

[Mathis48]

non, d et d' sont coplanaires dans le plan Q.
ensuite on en tire une conclusion absurde concernant P et P'

Si I est commun a P et P' et que d et d' sont coplanaires dans le plan Q, ça veut dire que P et P' sont confondu alors ?

[mathelot]

oui..................

[Mathis48]

oui..................

Et finalement comme il est dit que d et d' sont parallèles, elles ne peuvent pas être sécantes. donc d et d' sont parallèles puisqu'elles appartient a P et P' qui sont deux plans parallèles et distincts.

[mathelot]

Et finalement comme il est dit que d et d' sont parallèles, elles ne peuvent pas être sécantes. donc d et d' sont parallèles puisqu'elles appartient a P et P' qui sont deux plans parallèles et distincts.

non. deux droites peuvent être ni sécantes ni parallèles (par exemple si elles sont situées
dans P et P' , mais pas de même direction)

démo
supposons d et d' non parallèles.

Comme elles sont coplanaires dans Q, elles sont sécantes en un point I

I appartient à P et à P'

Mais P et P' sont disjoints.

Donc d et d' sont parallèles.

[Mathis48]

non. deux droites peuvent être ni sécantes ni parallèles (par exemple si elles sont situées
dans P et P' , mais pas de même direction)

démo
supposons d et d' non parallèles.

Comme elles sont coplanaires dans Q, elles sont sécantes en un point I

I appartient à P et à P'

Mais P et P' sont disjoints.

Donc d et d' sont parallèles.

Et donc pour prouver que I est commun a P et P' il faut dire que comme d et d' sont coplanaires dans Q, elles sont sécantes en un point I

I appartient à P et à P' qui sont alors deux plans confondu.

En conclusion, comme P et P' sont deux plans disjoints (non confondus donc), d et d' sont forcément parallèles.

C'est cela ?

[mathelot]

Et donc pour prouver que I est commun a P et P' il faut dire que comme d et d' sont coplanaires dans Q, elles sont sécantes en un point I

I appartient à P et à P' qui sont alors deux plans confondu.

En conclusion, comme P et P' sont deux plans disjoints (non confondus donc), d et d' sont forcément parallèles.

C'est cela ?

oui.

à noter que si P=P' alors d=d' . elles sont parallèles.

[Mathis48]

oui.

à noter que si P=P' alors d=d' . elles sont parallèles.

Merci beaucoup pour votre aide !