Géométrie, Colinéarité des Vecteurs

par **Maryna** » 19 Avr 2008, 14:55

Bonjour à tous, j'ai un devoir de mathématiques à faire pour lundi, il ne comporte qu'un exercice et a pour titre "La colinéarité des vecteurs". Notre professeur nous a enseigné les méthodes pou démontrer que deux vecteurs sont colinéaires... Seulement voilà, cela fait deux semaines que je suis en vacances et j'ai du mal à me remémorer les méninges. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Voici l'énoncé et la première question de l'exercice :

Soit ( O ; vecteur i ; vecteur j ) un repère orthonormal du plan.

Soient A ( -2 ; 1 ) et B ( 1 ; -1 ) ; Placer ces deux points ; soit d la droite (AB)

1ère Question : Soit C ( 0 ; - 0.33 ) ; C est-il aligné avec A et B ?

Méthode de travail imposée : Pour chacune des questions, utiliser la colinéarité des vecteurs.

Je sais que si C était aligné avec A et B, on aurait vecteur AC = k.vecteur CB, mais je ne pense pas que cela soit la bonne méthode pour répondre à cette question.

par **lucielune** » 19 Avr 2008, 14:59

pourquoi pas ? tu calcules les coordonnées des vecteurs AC et CB ... s'ils sont colinéaires, alors ces coordonnées sont proportionnelles .

par **Maryna** » 19 Avr 2008, 15:03

:id: Je n'y avais pas pensé merci. :we:

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 16:26

Suite de l'exercice :

3ème Question : Soit P ( -3 ; y ) ; Déterminer y pour que P, A, B soient alignés.

Ma réponse : Si P, A, B alignés, alors vecAB = k.vecAP
vecAP ( -3 +2 ; y -1 )
vecAP ( -1 ; y -1 )
vecAB ( 1 +2 ; -1 -1 )
vecAB ( 3 ; -2 )

Tableau de proportionnalité

vecAB | 3 | -2
vecAP |-1 | y-1

3(y - 1) = -1.(-2)
3y -3 = 2
3y = 5
y = 5/3

L'ordonnée du point P c'est 5/3.

4ème Question : Soit N ( x ; 5 ) ; Déterminer x pour que A, B, N soient alignés.

Ma réponse : Si A, N, B alignés, alors vecAB = k.vecAN

AN( x + 2 ; -5 -1 )
AN(x + 2 ; -6 )

Tableau de proportionnalité

vecAB | 3 | -2
vecAN |x+2| -6

-2( x + 2 ) = 3(-6)
-2x -4 = -18
-2x = -14
x = 7

L'abscisse du point N c'est 7.

5ème question (qui me pose problème) : Soit M(x : y) ; Comment choisir x et y pour que M soit aligné avec A et B (trouver une relation entre x et y)

Je ne vois pas le rapport entre la question et ce que j'ai fait auparavant. Auriez vous une petite idée s'il vous plait ?

par **prof** » 20 Avr 2008, 16:29

M, A et B sont alignés si et seulement si MA et AB sont colinéaires (en vecteur, bien évidemment).
Tu écris ce que cela signifie sur les coordonnées et tu as ta réponse.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 16:40

Si A, B, M alignés, alors vecAB = k.vecMB

vecAB( xB - xA ; yB - yA )
vecMB( xB - xM ; yB - yM )

(xB - xA)(yB - yM) = (xB - xM)(yB - yA)
xB.yB - xB.yM - xA.yB + xA.yM = xB.yB - xB.yA - xM.yB + xM.yA
- xB.yM - xA.yB + xA.yM = - xB.yA - xM.yB + xM.yA

Je suis perdue je ne comprends plus rien à ce que j'écris...

par **prof** » 20 Avr 2008, 16:46

Il te reste à remplacer les coordonnées de A et B par leurs valeurs et tu obtiens ta relation.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 17:00

J'ai remplacé, à a fin je trouve -3y - 1 = 2x.. C'est ça ma relation ?

La question 6 c'est la réciproque du théorème, je vous pas du tout comment faire , c'est le "-1" dans l'équation qui me bloque, je ne vois pas à quoi il correspond...

par **prof** » 20 Avr 2008, 17:01

Oui c'est ça ta relation.
La réciproque du théorème mais quel théorème? Sois plus précise?

par **prof** » 20 Avr 2008, 17:02

Si tu veux expliciter la réciproque de la question 5, tu considères que M a pour coordonnées ((-3y - 1)/2;y) et tu vérifies que A, B et M sont alignés.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 17:10

Oui c'est la réciproque du théorème de la question 5.
Mais je ne comprends pas, M il a pour coordonnées x et y, et non pas "((-3y - 1)/2 ; y)", j'ai du mal a comprendre là...

par **prof** » 20 Avr 2008, 17:18

Eh bien si puisque c'est la réciproque de la question, tu pars du résultat que tu as trouvé pour retrouver le fait que les points sont alignés.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 17:22

Oui mais ma réponse c'est une relation pas des coordonnées c'est ça que je ne comprends pas.

par **prof** » 20 Avr 2008, 17:31

Eh bien oui, mais c'est une relation entre x et y qui sont les coordonnées de M.
Donc tu as le droit de remplacer x par son expression en fonction de y.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 17:35

Donc si j'ai bien compris, je dois remplacer x par (-3y -1)/2 et y par -(2x1)/3 ?

par **prof** » 20 Avr 2008, 17:43

Non tu as juste besoin de remplacer x et tu gardes y.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 18:13

Je remplace comme vous l'avez dit x de M par (-3y - 1)/2, mais je ne sais pas par ou commencer pour répondre à la question, :hein: dois-je calculer vecAM et vec MB, et en déduire qu'ils sont colinéaires ?

par **prof** » 20 Avr 2008, 18:22

Il faut vérifier que A, M et B sont alignés c'est-à-dire que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Donc tu calcules les coordonnées de AM et celles de AB et tu vérifies avec la formule xy'-x'y=0.

par **Maryna** » 20 Avr 2008, 18:32

Ok j'ai fini. Bonne fin de soirée et merci beaucoup.

par **prof** » 20 Avr 2008, 18:42

De rien et bonne soirée. ;)

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