Géométrie analytique

[Mode34]

Bonjour à tous! J'ai du mal avec un exercice de mon DM:
Il y a une figure très simple que je vais vous décrire:
C'est un cercle de centre O. Deux tangeantes au cerle se coupent en un point M. Les points de contacts de ces 2 tangeants sur le cercle sont respectivement A et B.
1) Prouver grâce au théorème de Pythagore que AMB est isocèle en M.
=>J'ai répondu:
On trace la bissectrice de l'angle AMB qui nous permet d'obtenir 2 triangles AMO et ABO rectangles car une tangeante est toujours perpendiculaire au rayon par le point de contact.
Pour prouver que AMB est isocèle en M, il faut vérifier l'égalité AM=BM ou AM au carré = BM au carré. (DSL je n'arrive pas à mettre les carrés!)
Or d'après le théorème de Pythagore dans AOM et AOB, on sait que AM au carré= OM au carré - AO au carré et BM au carré= OM au carré - OB au carré.
De plus, on sait que AO=OB, donc AO au carré=OB au carré, puisqu'ils sont tous les 2 rayons d'un même cercle.
Aussi, si OM au carré - AO au carré = OM au carré -OB au carré, alors OM au carré=OM au carré. Evidemment, l'égalité OM au carré=Om au carré est vraie, or cela revient à dire que MA=MB, donc le triangle AMB est bien isocèle en A.
2) Justifier que (OM) est la médiatrice de [AB] et la bissectrice de l'angle AMB.
=>????
3) H est le symétrique de O par rapport à [AB]. Que représente H pour le triangle AMB?
=>j'ai mis l'orthocentre, mais je sais pas pourquoi...
4) E est le milieu de [OM]. Que représent E pour l'angle AMB?
=>????
Merciiiiiiiiiiiiiiii !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Mode34]

Merci à ceux qui me répondront mais je suis obligé de revenir dans une demi-heure... N'hésitez pas à m'aider quand même!!!!!!

[oscar]

Figure


http://yfrog.com/0jtangentesauncercleg

[Mode34]

Vraiment personne pour m'aider?!?!?! s'il vous plaît!!!

[Mode34]

En gros c'est effectivement la figure proposée, merci

[Olympus]

Pour la 2), la figure d'Oscar te permettra d'y voir plus clair, A et B sont sur le cercle de diamètre [OM], donc que dire des points O' ( le centre de ce cercle ), A et B ? De même pour le cercle (C) . Conclure .

[Mode34]

Je sais!!!
On sait que O (G sur la fig de Oscar) est à égale de distance de A que de B puisque AO et BO sont égaux car ce sont des rayons. Or si OA=OB, alors O se trouve sur la médiatrice de AB!
On sait que O (G sur la fig de Oscar) est à égale de distance de AM que de BM puisque AO et BO sont égaux car ce sont des rayons. Or si O est à égale distance de AM que de BM, alors O se trouve sur la bissectrice de AB!
C'est bon pour la 2)

[Mode34]

quelqu'un pourrait t'il me donner des pistes pour les question 3) et 4) svp???

[Ericovitchi]

Oui l'orthocentre, c'est exact. Pourquoi ?
démontres que BOAH est un losange (car les diagonales se coupent en leur milieu), déduis-en que BH est parallèle à OA et donc perpendiculaire à AM et donc que BH est une hauteur du triangle ABM

Pour 4) démontres que EA=EO=EB=EM et que E est donc le centre du cercle circonscrit

[Mode34]

Merci ericovitchi et désolé de répondre si tardivement. je suis parvenue à répondre à la question 3) avec une histoire de translaté (ce qui rejoint l'histoire du losange AOBH puisque chaque côté est le translaté du côté opposé). Seulement je n'arrive pas à prouver que EM=EB=EA=EO...Je sais que EB=EA mais je ne sais pas comment l'expliquer. Il faut que je prouve que EAO est isocèle, mais comment??

[Ericovitchi]

E est le milieu de OM donc de l'hypoténuse du triangle MOA et donc centre du cercle circonscrit au triangle (dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours un diamètre du cercle circonscrit) et donc EO=EA=EM

[oscar]

H orthocentre du triangle MAB car

MH perpendiculaire à AB Rejustifie
AH .........................MB car :: OB)
BH..........................MA Re....