Géométrie 1ère S

[Mathematicien13]

Bonsoir,si quelqu'un pourrait me donné une piste sur ces exercices, histoire de mieux comprendre car j'ai un DS à la rentrée, et si je ne comprends pas, je suis plutôt mal barré, merci d'avance.

L'unité de longueur est le cm. On considère un rectangle ABCD tel que AB = 3 et BC = 5. M est un point quelconque du côté [AB]. Les points N, P et Q sont des points respectivement des côtés [BC], [CD] et [DA] tels que : AM = BN = CP = DQ.

1) On note AM = x. On note f(x) l'aire en cm² du quadrilatère MNPQ.
a) A quel intervalle le nombre x appartient-il ? Justifier la réponse.
=> est-ce "x appartient à l'intervalle [0;3] car x appartient à [AB] ?

b) Montrer que f(x) = 2x² - 8x +15.

c) Déterminer la forme canonique de f(x).

2) On se propose de déterminer la position du point M sur le côté de [AB] telle que l'aire du quadrilatère MNPQ soit minimale.

a) Utiliser la courbe représentative de f donnée ci dessous pour faire une conjecture sur la solution du problème posé. On laissera les tracés effectués apparents.

b) Utiliser la forme canonique de f(x) pour montrer que pour tout réel x appartient à [0;3], on a : f(x) est supérieur ou égal à f (2).

c) Conclure.

3) On se propose de répondre à la question suivante. Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles l'aire du quadrilatère est égale à 10cm² ?

a) Ecrire l'équation permettant de répondre à la question posée.

b) Faire une conjecture sur la solution du problème posé. On indiquera la méthode suivie.

c) Démontrer le résultat annoncée à la question précédente.



Cordialement.

[Ericovitchi]

Bonjour,
Et alors qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ?
Astuce pour calculer l'aire MNPQ : Calculer la surface du rectangle - la surface des 4 petit triangles rectangles

[Mathematicien13]

Bonjour, merci de répondre. Effectivement après il suffit de faire (5-x)(3-x). Merci pour cette astuce, moi j'essayais de trouver l'aide du parallélogramme MNPQ. directement.. Enfin en l'occurrence, il s'agit de 4 petits triangles. Donc pour trouver, j'ai rassemblé les triangles AMQ et PCN et les triangles QDP et BNM afin de former 2 rectangles car ils ont les mêmes mesures et de trouver l'aire plus facilement soit aire du rectangle ABCD - [x(5-x)+x(3-x)] <=> 15 - (5x - x² +3x - x²) <=> 2x² - 8x +15.

Et donc du coup la forme canonique pour la question c) serait f(x) = x [(2x-racine carré de 2/x)² + 13/x ?
car 2x² -8x + 15 = x(2x -8 +15/x)
= x[(2x-8+2/x) + 15/x - 2/x]
= x[(2x-racine carré de 2/x)² + 13/x] ?

[Ericovitchi]

heu , non tu t'es un peu emberlificoté. la forme canonique c'est plutôt :
2x²-8x+15=2(x²-4x+15/2) = 2((x-2)² -4 + 15/2 ) = 2((x-2)²+7/2)

Sous cette forme, on voit bien que le carré sera minimum pour x=2 et que le minimum vaudra 7

[Mathematicien13]

La forme canonique ne serait pas, plutôt 2(x-2)²+7 ? car 2x²-8x=2x²-8x+8-8=2(x-2)²-8 d'où

2x²-8x+15= 2(x-2)²+7