Genre de suite et raison

[sab1234]

Bonjour voici un exercice sur les suites ou je bloque:

Soit la suite (un) n E N définie par u0=u1=1 ; u2= (1-1/2²) et pour n> :
un+1= un(1-(1/(n+1)²)

Je ne sais pas comment savoir s'il s'agit d'une suite géométrique ou arithmétique car je n'ai que (un+1) et non (un) donc avec quelles formules trouver le genre de suite et la raison?

J'ai beaucoup de difficulté lorsque que ce n'est pas explicite.

Merci

[annick]

Bonjour,
je vois bien les questions que tu poses, mais j'aimerai savoir quelle est la vraie question posée dans ton exo car si ça se trouve on ne te demande pas de prouver que la suite est arithmétique ou géométrique.

[sab1234]

voici les question: 1-déterminer sous forme de fractions irréductibles u2, u3, u4 et u5.
2-Montrer que la suite (un) est décroissante.
3-En déduire que la suite converge.
4-Montrer que pour n>2 on a un= (n+1)/2n
5-En déduire la limite de la suite (un).

Du coup je bloque dès le départ

[sab1234]

pas d'idées?

[Carpate]

voici les question: 1-déterminer sous forme de fractions irréductibles u2, u3, u4 et u5.
2-Montrer que la suite (un) est décroissante.
3-En déduire que la suite converge.
4-Montrer que pour n>2 on a un= (n+1)/2n
5-En déduire la limite de la suite (un).

Du coup je bloque dès le départ

Evalue

[sab1234]

Bonjour j'ai bien évalué ceci mais ça ne me donne pas plus d'élément parce que le résultat n'est pas dépendant de n. du coup rien ne prouve si la suite est arithmétique ou pas, quelle est sa raison et du coup comment poursuivre l'exercice..

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer? Je ne crois pas avoir la bonne méthode pour me dépatouiller dans ce genre d'exercice.

[LeFish]

Il me semble que nulle part dans l'exercice on te demande de savoir si la suite est géométrique ou arithmétique... Donc pour l'instant ne t'en soucie pas !

Quand tu dis tu bloques dès le départ, tu as fait la question 1 ou pas ?
Si tu l'as faite, pour la question 2, fais comme Carpate t'a dit.
Réfléchis et demande-toi ce que tu as comme résultat qui t'informe de la croissance ou de la décroissance d'une suite ?

[sab1234]

Non je n'ai même pas fais la première question puisque je ne sais pas m'y prendre du tout avec ce genre de suite. Dans mes leçons et dans les exercices on ne retrouve pas de "un" dans dans la suite. Vraiment personne pour m'éclairer?
Je m'explique je passe un concours ou le niveau est bac à bac +2. J'ai eu mon bac il y a 8 ans et je n'ai pas poursuivi mes études. Aujourd'hui je fais beaucoup d'effort pour atteindre un niveau suffisant et m'en sortir seulement il y a une grande différence entre le niveau des cours de ma formation par correspondance et les annales de concours. D'où ma difficulté à trouver le chemin pour la résolution des exercices. Alors une petite explication serait la bienvenue.
Merci

[sab1234]

On n'est pas obligé de connaitre le genre d'une suite ni sa raison pour pouvoir répondre? ça me semble absurde. Tout d'abord parce que j'ai appris que c'était en connaissant la raison qu'on pouvait déterminé si une suite était croissante ou décroissante.

[ampholyte]

Bonjour,

1) Il faut que tu écrives u2, u3 et u4 sous la forme d'une fraction a/b tel que a et b sont premiers entre eux (ie. qu'on ne peut pas simplifier la fraction).

2) Compare u(n + 1)/un par rapport à 1. Est-ce plus grand plus petit ? Pk ?

3) Est-ce que la suite est minoré ? Est-ce qu'elle peut descendre jusqu'à l'infini ?

4) Preuve par hypothèse de récurrence.

[Sylviel]

On n'est pas obligé de connaitre le genre d'une suite ni sa raison pour pouvoir répondre? ça me semble absurde. Tout d'abord parce que j'ai appris que c'était en connaissant la raison qu'on pouvait déterminé si une suite était croissante ou décroissante.

Non, cela montre que tu n'as pas bien compris ce qu'est une suite. Pour te faire un parallèle tu es en train de dire :
"on me donne une fonction et je veux savoir si elle est affine ou si c'est une fonction exponentielle".
puis tu dis un truc du genre "c'est en regardant le coefficient directeur qu'on sait si une fonction est croissante ou non".

Donc : les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des cas particuliers (tout comme les fonctions affines sont des cas particulier des fonctions, mais il y en a plein plein d'autres : exp, log, racine, 1/x, ...).

1) Pour calculer U2 il suffit de remplacer n par 1 dans ta formule, cela te donne
U2=U1*(...) et tu sais que U1 = 1. Donc U2 = ...
Puis tu remplaces n par 2 et tu obtiendras U3 etc...

2) Une suite est croissante si pour tout n, Un+1 >= Un.
Une suite est décroissante si pour tout n, Un+1 <= Un.
Pour vérifier cela deux manières génériques
a) montrer que pour tout n, Un+1 - Un est positif (ou négatif).
b) si la suite est positive, montrer que Un+1 / Un est plus grand que 1 (ou plus petit que 1).

[sab1234]

Merci beaucoup pour vos conseils cela m'a bien éclairé. J'ai trouvé u2=3/4 ; u3=2/3 ; u4=5/8 et u5=3/5.

Pour la deuxième question j'ai expliqué que u1>u2>u3>u4>u5 car 1 > 3/4 > 2/3 > 5/8 > 3/5. Donc on a un+1< un donc un est une suite décroissante.

Voila jusque là ça parait cohérent mais voilà que je rebloque sur la question suivante. J'ai appris que c'est grâce à la raison d'une suite qu'on peut savoir si elle diverge, si elle converge... D'ailleurs lorsque que je cherche la relation de récurrence entre les éléments je ne la trouve pas: u2-u1 différent de u3-u2 et u2/u1 différent de u3/u2. Pouvez me dire si c'est normal et comment dois-je démontrer qu'elle converge?

[ampholyte]

Si la suite est croissante et majorée alors elle converge.
Si la suite est décroissante et minorée alors elle converge.

Tu as troué que la suite était décroissante. Est-ce que tu peux me donner un minorant de la suite ?

[sab1234]

Non je ne sais pas le faire. Je sais bien qu'une suite est minorée si elle admet un réel m tel que quel que soit n appartient à N, Un >= m. Mais pas plus.. Comment trouver ce nombre? Et que veux dire converger au juste?

[Sylviel]

Déjà je t'invite à relire mon message car tu continues de faire la même confusion qu'auparavent en pensant que toutes les suites sont arithmétiques ou géométriques...

Là tu n'as pas montré que la suite était décroissante ! Il faut que tu montres que,
pour tout entier naturel n, Un+1 <= Un, et toi tu ne l'as montré que pour les 3 ou 4 premiers entiers...

Pour faire la démonstration tu dis :
soit n un entier naturel, alors
Un+1 / Un = ... (et tu retournes à mon message précédent où je t'expliquais comment on compare classiquement deux termes d'une suite). D'ailleurs pour utiliser cette "astuce" il faut s'assurer que la suite est positive, ce qui te donneras un minorant (lequel ?).

[sab1234]

Si je comprend bien, je dois d'abord pouvoir trouver qu Un+1 - Un est positif (ou négatif). Seulement je ne connais pas Un dans l'énoncé je tente le calcul:

Un+1-1=Un-1*(1-(1/(n-1+1)²)) et ça me donne Un=Un-1*(1-(1/n²))

Je sais pas si le calcul est juste mais encore moins si le résultat est positif?

Là j'avoue que pour moi ça devient un réel jeux de piste. Connaissez vous des cours qui puisse me permettre d'avoir toute les clés en main pour comprendre ou on cherche à me mener? Mes cours se limitent aux suites arithmétiques et géométriques mais ne vont pas plus loin d'où ma confusion.

[ampholyte]

Si je comprend bien, je dois d'abord pouvoir trouver qu Un+1 - Un est positif (ou négatif). Seulement je ne connais pas Un dans l'énoncé je tente le calcul:

Un+1-1=Un-1*(1-(1/(n-1+1)²)) et ça me donne Un=Un-1*(1-(1/n²))

Je sais pas si le calcul est juste mais encore moins si le résultat est positif?

Là j'avoue que pour moi ça devient un réel jeux de piste. Connaissez vous des cours qui puisse me permettre d'avoir toute les clés en main pour comprendre ou on cherche à me mener? Mes cours se limitent aux suites arithmétiques et géométriques mais ne vont pas plus loin d'où ma confusion.

Sylviel t'a conseillé de calculer u(n+1) / un. Que peux-tu dire par rapport à 1 ?

[Sylviel]

Un jour tu liras peut être ce que les gens te conseille... En attendant tu continueras d'avoir l'impression que personne ne veut t'aider :ptdr:

[sab1234]

C'est peut être parce que même en essayant d'appliquer je comprends pas plus. Tout le monde n'a pas le même niveau d'étude que vous c'est peut être pour ça qu'ils s'inscrivent sur des forum de soutien scolaire pour espérer avoir des réponses. A part exposer vos connaissances comme si que c'était des évidences, pour une personne lambda qui s'est mis aux maths récemment en faite il y a pas grand chose d’abordable ici. Bien déçue de l'ambiance. Sur ce, éclatez vous bien derrière vos ordinateurs à descendre les gens qui font des efforts. Bonne continuation

[ampholyte]

C'est peut être parce que même en essayant d'appliquer je comprends pas plus. Tout le monde n'a pas le même niveau d'étude que vous c'est peut être pour ça qu'ils s'inscrivent sur des forum de soutien scolaire pour espérer avoir des réponses. A part exposer vos connaissances comme si que c'était des évidences, pour une personne lambda qui s'est mis aux maths récemment en faite il y a pas grand chose d’abordable ici. Bien déçue de l'ambiance. Sur ce, éclatez vous bien derrière vos ordinateurs à descendre les gens qui font des efforts. Bonne continuation

Bonjour,

On ne descend personne. Nous ne sommes pas ici pour te donner la solution car cela ne t'apportera rien de bon. Nous essayons de t'emmener vers la réponse en te fournissant quelques conseils.

N'hésite pas à poser des questions mais tu dois également nous montrer que tu fais des choses de ton côté.

Sylviel t'a conseillé de calculer u(n+1) / un. Que peux-tu dire par rapport à 1 ?

As-tu essayé de calculer u(n+1) / un ? Qu'as-tu trouvé ?