Généralités sur les suites

[Na0h]

Bonsoir,
Désolée de vous déranger, j'ai un problème avec un DM sur les suites, arithmétiques et géométriques...

Dans un exercice, on demande deux façons différentes de calculer la somme S(n) = V(0) + V(1) + ... + V(n). Mias je ne vois qu'une seule façon, avec la formule S(n) = (n+1)*((V(0)+V(n))/2)... Pourriez m'indiquer une seconde façon de procéder?

Dans un autre exercice :
- on nous demande de faire une conjecture sur les convergences éventuelles de deux suites à partir des six premières valeurs de leur tableau de valeurs à la calculatrice. J'ai fait ce tableau mais je ne vois pas bien comment conjecturer ça...
-à un autre moment, il faut exprimer la suite (Wn) telle que W(n) = V(n) - U(n) en fonction de n. Or on ne connait que les expressions de V(n+1) et U(n+1). On a démontré juste avant que (Wn) était géométrique, et calculé sa raison, mais avec la raison ça donnerait W(n+1)=W(n)*q donc ça n'est pas l'expression de (Wn) en fonction de n mais de W(n+1) en fonction de n, je me trompe? Et comment trouver cette expression alors..?

Merci beaucoup d'avance! Bonne soirée,
Cordialement.

[el niala]

si j'ai bien compris...

la suite est arithmétique
tu as appliqué la formule du cours, mais tu aurais aussi pu, connaissant le premier terme et la raison écrire


d'où l'expression de en fonction de , et

pour l'autre question
tu sais calculer
et tu connais en fonction de et non ?

ça ne te dit rien ?

[Na0h]

Oui, (Vn) est arithmétique en effet.
Merci pour cette autre façon de calculer la somme! Mais concretement, comment la calculer? Je comprend l'expression mais je n'arrive pas à l'appliquer... Par exemple, si n=100, comme calcule-t-on la somme des termes des rangs 0 à 100 avec cette méthode...?

Ah oui, merci beaucoup pour la formule, je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé!

Par contre je bloque quand même un peu plus loin, quand on nous demande l'expression de U(n) puis de V(n) en fonction de n, en fonction des questions précédentes.

L'énoncé donnait : U(n+1) = (U(n)+2V(n))/3 avec U(0) = 1 et V(n+1) = (U(n)+4U(n))/5 avec V(0)= 2
et W(n)=V(n)-U(n) et t(n)= 3U(n) + 10V(n)

Des précédentes questions, on a déduit :
W géométrique de raison q= 2/15
et W(n) = W(0) * (2/15)^n or W(0) = V(0) - U(0) = 2-1=1 donc W(n) = (2/15)^^n

J'ai beau tourner le problème dans tous les sens à partir de ces formules, je retombe toujours sur des valeurs connues et jamais sur les expression de U(n) ou V(n)... Pourriez-vous m'aider?

Et enfin, à deux reprises dans les exercices, il nous faut conjecturer ou étudier la convergence de deux suites, et cela n'apparaît pas dans mon cours, comment fait-on cela?

Merci infiniment! Désolée du désagrément..
Bonne soirée!

[el niala]

la somme des n premiers nombres entiers est connue (tu peux la retrouver facilement) c'est n(n+1)/2

pour l'autre question, il faut te servir de
as-tu calculé ?

d'où l'expression de

il te reste alors à exprimer et en fonction de et

[Na0h]

D'accord, donc ça donne : Sn = (n+1)V(0) + (n(n+1)/2)r c'est bien ça?

Ah oui pardon, j'ai oublié de préciser, la suite (tn) est constante donc :
3U(n) + 10V(n) = 3U(n+1) + 10V(n+1) mais quand je remplace par les valeurs connues de U(n+1) et V(n+1) je retombe sur la même expression...

[Na0h]

L'expression Sn = (n+1)V(0) + (n(n+1)/2)r fonctionne en fait, c'est bon, merci beaucoup!

Mais pour ce qui est de trouver l'expression de Un et Vn et des convergences de ces dernières, je n'y parvient vraiment pas... :triste:

[el niala]

OK pour

tu connais donc et en fonction de et de et
et tu sais aussi que :



d'où par exemple par combinaison des 2 équations ci-dessus :



d'où l'expression de

même principe pour

[Na0h]

D'accord... et on a alors : U(n) = (23-10(2/15)^n)/13 et V(n) = (2/15)^n + (23-10(2/15)^n)/13
C'est ça? Ca me semble un peu compliqué comme expression, mais c'est peut-être normal...

Comment peut-on étudier leur convergence? En étudiant leur limite quand n tend vers l'infini, et le point de convergence est égal à la limite?

Merci pour tout!!!

[el niala]

je n'ai pas vérifié ton calcul

pour la convergence, quelle est la limite lorsque tend vers +l'infini de avec ?

d'où la réponse à ta question