[TS+] Formule de Stirling

[benekire2]

Bonjour à tous !

Je propose aujourd'hui un exercice plutôt difficile qui a pour but de montrer que :

c'est a dire que

On pose u une suité définie pour tout entier naturel n ,
On introduit une suite auxiliaire
On utilisera aussi ainsi que


...1. Convergence de u.

......a. Montrer que

......b. Montrer que

......c. Soit n>1 montrer que

......d. Montrer que pour n>1

......e. Montrer que la suite u converge vers un réel c>0

...2. A la recherche de c ...

Montrer que

...3. Conclure.

Bon travail :happy3:

PS. Je rajouterais peut être d'autres questions ou alors des indications.

[AL-kashi23]

Pour la 1, b), il faut préciser à quoi appartient x ( j'suis tatillon) .

Sinon, je connaissais pas cette preuve. Tu connais celle avec les intégrales de Wallis ?

[Micki28]

Bonjour,

Que veux dire ce symbole?



Oh lala l'inculte :hein:

[Djmaxgamer]

Bonjour,

Que veux dire ce symbole?



Oh lala l'inculte :hein:

C'est le signe d'équivalence de fonction. Sa traduction a été donnée dans l'énoncé.

[benekire2]

Pour la 1, b), il faut préciser à quoi appartient x ( j'suis tatillon) .

Sinon, je connaissais pas cette preuve. Tu connais celle avec les intégrales de Wallis ?

Oui oui je la connais, elle est plus rapide mais comme elle est donnée dans la plupart des bouquins je voulais pas la remettre.

Pour la 1b, t'as raison de faire la remarque j'avais oublier. Merci.

[benekire2]

Si personne ne s'y attaque d'ici le we prochain, je donnerais la correction.

[AL-kashi23]

J'suis en manque de calcul donc voila ma contribution :

1) a)

= le résultat .

Sinon, pour la majoration de Kn:

On dit que ça vaut et que c'est inférieur à 2 ^^

Sérieusement, une petite fonction x->1/x^2 à minorer puis intégrer entre k-1 et k et on somme le bidule.

Ce problème est un petit peu technique, bon entrainement : avis aux amateurs! Et je laisse ma place aux lycéens maintenant :we:

[ffpower]

Dans la question 2), c'est quoi ""?

[Alpha]

Pour la majoration de Kn, comme l'a dit Al Kashi, une comparaison série intégrale suffit.

Pour le d :
On applique le b. avec x = 1/(2n+1) et on traduit cette inégalité sur l'égalité a., cela donne un encadrement de la quantité v_(n+1) - v_n, et en faisant une somme (téléscopique) de cette quantité pour k allant de 1 à n-1, on obtient l'inégalité voulue (en calculant par exemple 1/k² - 1/(k+1/2)² afin de faire apparaître le 1 et le K_(n-1) dans l'inégalité).

[benekire2]

Dans la question 2), c'est quoi ""?

C'est rien du tout, je modifie ...

[benekire2]

Pour ce qui est de la 1.c on ne passe pas par les série/intégrales, mais par une majoration, en fait :

on montre par récurrence que Kn<2-1/n puis on en déduit Kn<2 mais on utilise surtout pas le fait que c'est zeta(2) ...

PS. Pour ceux qui ne verraient pas l'hérédité dans la récurrence, on dit que 1/(n+1)²<1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

[AL-kashi23]

Pour ce qui est de la 1.c on ne passe pas par les série/intégrales, mais par une majoration, en fait :

on montre par récurrence que Kn<2-1/n puis on en déduit Kn<2 mais on utilise surtout pas le fait que c'est zeta(2) ...

PS. Pour ceux qui ne verraient pas l'hérédité dans la récurrence, on dit que 1/(n+1)²<1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

Relis mon message, la référence à zeta(2) était une blague

Et ta récurrence n'est pas du tout la manière la plus intuitive de faire. Il faudrait déja trouver la forme de la majoration ( ton 2-1/n) , ce qui est possible je te l'accorde.

De ce fait, la méthode série/intégrale se rédige en 2 lignes et se passe d"une récurrence un peu laborieuse..

[benekire2]

J'avais pas vu que tu blaguais :zen:

sinon, je suis d'accord avec toi, cependant la comparaison série intégrale n'est pas vue au lycée.

Je devrais ajouter "montrer que Kn<2-1/n et en déduire K_n<2 je pense ...