La formule de Heron

[iter45]

Bonjour , excusez moi de vous déranger mais je n'arrive carrément pas a débuter un exercice ! J'espère que vous pourrez m'aider.

Voici l'énoncé : ABC est un triangle tel que AB=c , AC=b et CB=a

Avec la formule d'Al Kashi, démontrer que :
sin²(Â) = 1- [ (b²+c²-a²)² / 4b²c² ]

Je n'arrive pas du tout à répondre a cette question pourriez vus maider s'il vous plait ??
Merci d'avance.

[rene38]

Bonjour

Applique la formule d'Al Kashi : a²=b²+c²-2bc cos(Â)
tu en tires cos(Â)=.....
puis cos²(Â)=...
et enfin, en utilisant sin²(x)+cos²(x)=1 pour tout réel x,
sin²(Â)= ...

[titine]

Facile !
Al Kashi dit : a² = b² + c² + 2*b*c*cosA
Ou : cos A = (a² - b² - c²)/(2bc)
D'où cos² A = (a² - b² - c²)²/(4b²c²)
Et comme cos²A + sin²A = 1 ........................

[oscar]

Voici un doc sur la formule de HERON


http://img101.imageshack.us/img101/8568/heronzf1.jpg

[iter45]

Merci beaucoup . Je voulais savoir encore une chose svp pour développer ( b²+c²-a²)² .J'ai essayé de trouver une identité remarquable mais je ne trouve pas .Pourriez vous m'aider svp ? Merci d'avance

[rene38]

Et pourquoi diable voudrais-tu développer ? A moins que ce soit demandé dans une autre question ... mais la tendance serait plutôt à la factorisation ...

[iter45]

Oui, on me demande a la question d'après de retrouver un résultat comme ca . C'st pour ca que je demande

[iter45]

Ca yé j'ai réussi au bout de 3heures !! lol !! mais la je bloque depuis tout a leure sur un calcul. On me dit que:
p désigne le demi périmètre du triangle ABC, c 'est a dire 2p = a + b + c

On me demande démontrer que sin(Â) = 2* [ racine ( p(p-b)(p-a)(p-c)]/bc
Je n'y arrive pas. Pourriez vous m'aider ??

[rene38]

Reprends la formule démontrée au début :







puis factorise le numérateur (différence de deux carrés)
tu verras apparaître (b+c)² dans une parenthèse et (b-c)² dans l'autre.
Tu pourras alors factoriser une nouvelle fois dans chaque parenthèse.
Enfin, remarque que par exemple a+b-c=a+b+c-2c=2p-2c=2(p-c) ...

[oscar]

Voici un autre doc sur HERON ( remanié)