Formule de Héron

[Jenesaispastrop]

Bonjour,
Je suis actuellement bloqué sur un exercice de Mathématique. J'espère que vous pouvez m'aider, je vous remercie du temps que consacrerai à lire mon problème !
Le problème est le suivant :
ABC est un triangle. On note A l'aire de ce triangle et p=(a+b+c)/2 son demi-périmètre.


1. a. Montrer que
1 + cos(A) = (2p(p-a))/ bc

et que 1 - cos(A) = (2(p-b)(p-c))/bc

b. En déduire une expression de sin(A) en fonction de a, b, c et p.

c. Calculer | Montrer alors la formule de Héron :

A = sqrt(p×(p-a)x(p-b)x(p-c))

J'ai déjà des idées concernant la question 1.a mais je ne sais pas trop comment les mettre en formes. Ce serai de calculer cos(A) puis cos(B) et cos(C) pour prouver que le tout est égal à 180 °C. Concernant le sin(A) , je n'est aucune idée.
Merci de votre aide !

[GaBuZoMeu]

Pas besoin de faire intervenir les angles en B ni en C. Al-Kashi avec l'angle en A suffit largement.

[Jenesaispastrop]

D'accord, mais je ne vois pas trop d'où sort le "+1" et donc je ne sais pas trop comment le gérer

[GaBuZoMeu]

Et si, au lieu de te demander comment gérer, tu te retroussais les manches et t'attaquais à l'égalité , que tu peux réécrire sous la forme ?
Il convient bien sûr de remplacer par sa définition, et ça vient tout seul (à condition de bien se souvenir d'Al Kashi).

[Carpate]

On note A l'aire de ce triangle

Bizarre cet énoncé , A représente à la fois l'angle A du triangle et son aire

[GaBuZoMeu]

Ne pas juger de la qualité de l'énoncé sur la transcription qui en est faite par le questionneur. Ce dernier n'a sans doute pas eu le moyen de reproduire les différences de polices de caractères.

[Jenesaispastrop]

Al kashi :
a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)
Donc
cos(A)=(b^2+c^2-a^2)/2bc
1+cos(A)=(1+(b^2+c^2-a^2))/2bc
=(1+(b^2+c^2-a^2*bc))/2bc
=(1+(b+c)^2-a^2)/2bc
=(1+(b+c+a)(b+c-a))/2bc
=(1+2×p×2(p-a))/2bc
=(1+2p(p-a))/bc
Je trouve ceci, et je ne sais pas trop comment me débarrasser du 1.
Concernant l'aire qui est représentée par A, au départ elle c'était un autre caractère que je n'ai pas reussi à trouver donc j'ai pris "A" comme aire mais je n'avais pas fais le rapprochement avec A l'angle...

[GaBuZoMeu]

cos(A)=(b^2+c^2-a^2)/2bc
1+cos(A)=(1+(b^2+c^2-a^2))/2bc
=(1+(b^2+c^2-a^2*bc))/2bc

Il faudrait ne pas mener les calculs en faisant de grosses erreurs.
Je t'avais suggéré de tout multiplier par pour éviter le dénominateur qui te pose visiblement problème : ça se ramène à vérifier l'égalité

Remplacer par sa définition, développer ... ça va tout seul.

[Jenesaispastrop]

J'ai bien essayé de faire ce que tu as dit, mais je ne sais pas comment faire, par quoi commencer et surtout dans quel ordre faire les calculs. Si tu pouvais me donner juste l'étape d'après m'aiderai à partir dans la bonne voie je pense.

[Jenesaispastrop]

Je trouve ceci par ta méthode :
1+cos(A) *bc=2(a+b+c)/2*((a+b+c)/2-a)
=(2a+2b+2c*a+b+c-2a)/4
=(2b+2c*a+b+c)/4
J'ajoute à ça... après ceci je ne sais pas quoi faire avec ça.

[Black Jack]

Tu fais des fautes dans des calculs basiques ...

Al kashi :
a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)
Donc
cos(A)=(b^2+c^2-a^2)/2bc = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)
1+cos(A)=(1+(b^2+c^2-a^2))/2bc = 1 + (b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(1+(b^2+c^2-a^2*bc))/2bc = (2bc + b^2+c^2-a^2)/(2bc)
=(1+(b+c)^2-a^2)/2bc = ((b+c)^2-a^2)/(2bc) CONTINUE ...
=(1+(b+c+a)(b+c-a))/2bc
=(1+2×p×2(p-a))/2bc
=(1+2p(p-a))/bc
Je trouve ceci, et je ne sais pas trop comment me débarrasser du 1.
Concernant l'aire qui est représentée par A, au départ elle c'était un autre caractère que je n'ai pas reussi à trouver donc j'ai pris "A" comme aire mais je n'avais pas fais le rapprochement avec A l'angle...

[Jenesaispastrop]

D'accord mais pourquoi le 1 disparaît lorsque l'on fait "*2bc" ?

[GaBuZoMeu]

Reprends ton calcul en essayant de ne pas faire de fautes. Il faut plus de soin !

[Jenesaispastrop]

Certes, j'entends bien ce que tu me dis, mais saurais tu me dire pourquoi le "1" disparaît ?

[GaBuZoMeu]

M'enfin ???
Tu n'as pas vu les corrections qu'a faites Black Jack ? Il les a pourtant mises en rouge.
Ne t'obstine pas dans l'erreur, et reprends tes calculs avec plus de soin.

[Jenesaispastrop]

J'ai bien ce qu'a écrit Black Jack, j'aimerais juste comprendre comment ce fait que le 1 disparaissent, est-ce normal (moi qui est nul en math) ou est-ce que c'est une règle spéciale, dans les cas je souhaiterais comprendre pour me coucher moins bête et pour apprendre quelque chose.

[GaBuZoMeu]

Tu devrais revoir les bases du calcul avec des fractions.

[Jenesaispastrop]

D'accord merci je viens de comprendre !
J'ai du oublier cette règle de calcul !

[Jenesaispastrop]

Concernant 1-cos(A), je pense que c'est la même chose, j'ai donc élaboré ceci : est-ce ca ?

Al kashi :
a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)
Donc
cos(A)=(b^2+c^2-a^2)/2bc
1-cos(A)=(1-(b^2+c^2-a^2))/2bc
=(2bc-b^2+c^2-a^2)/2bc
=((b+c)^2-a^2)/2bc
=((b-c+a)(b-c-a))/2bc
=(2(p-b)×2(p-c))/2bc
=(2(p-b)(p-c))/bc

[GaBuZoMeu]

Non, ça ne va pas, il y a des erreurs de signe à la 3e ligne.
Tu as vraiment de gros problèmes de calcul. Essaie d'y remédier !