Formule de héron 1er S

[grain2-f0lie]

si on connait les 3cotés d'un triangle, c etriangle est parfaitement déterminé, dc on doit pouvoir calculer l'aire du triangle connaissant la longueur de chacun des cotés.
On pose a+b+c = 2p(p est donc le semi périmétre du triangle), Héron d'Alexandrie a étbali que l'aire S=;) p(p-a)(p-b)(p-c).
On se propose de démontrer cette formulte.
1) Calculer cosA en fonction de a,b,c en utilisant la formule d'Al Kashi
D'aprés Al kashi : a²=b²+c²-2b cos A
cos A= (a²-b²-c²)/ -2bc

2)en déduire cos²A en fonction de a,b,c .
On montrera sin²A= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/ 4b²c²
Puisque b²c²sin²A= 4p(p-a)(p-b)-p-c)
J'en ai déduit que cos²A= (a²-b²-c²)² / (-2b)²

Mais pour sin²A je n'aarive pas a trouver je part pourtt de b²c²sin²A=4p(p-a)(p-b)(p-c)
Mais je tourne en rond sur cette question =$

c) En utilisant la relation S=1/2 bcsinA établir la relation De Héron .
Alors ici je ne vois pas de tout ce qu'il faut faire -_-'

Si quelqu'un pourrait m'aidez s'il vous plait =)

[Teacher]

1) cos A= - a²+b²+c² / 2bc

[saintlouis]

Bonjour

Si a+b+c =2p; b+c -a = a+b+c-2a = 2p -2a = 2(p-a)
a+c-b = 2(p-b) et a+b-c = 2(p-c)
Tu as trouvé sinA =4p(p-a)(p-b)(p-c)/4b²c² et S = 1/2 bc sinA
Donc S = V... (formule indiquée plushaut

[grain2-f0lie]

2) sin² A= 4p (p-a)(p-b)(p-c) / 4b² c²

3) Comme S= ;)p (p-a)(p-b)(p-c)
et comme S= 1/2 bc sin A
<=> Mais là j'obtient ;)2p (p-a)(p-b)(p-c)
o_O

[saintlouis]

Bonsoir

On doit trouver sin²A = 4p(p-a)(p-b)(p-c) / b²c²

S = 1/2 bc SinA = Vp(p-a)p-b)(p-c) ( 4 est divisé par 2²)