Forme récurrente à explicite suites

[FerreSucre]

Bonjour je suis bloqué sur une suite que je suis incapable de transformer en fonction de n, voici :


Avec Uo = 3
Et donc j’ai essayé 2 - 3 truc mais rien de convaincant... avez vous des idées ou une solution ? Merci

[mathelot]

Bonjour,
étudier les variations de fonction
Calculer les points fixes, racines de l'équation
Comparer les réels et
Que peut on dire des inégalités
?

[FerreSucre]

Mon but est de trouver la forme explicite, je sais déjà que la limite =
Car la suite est décroissante ! En utilisant un raisonnement par récurrence vue que f(x) est croissante sa conserve l’ordre alors Un+1<Un
Mais comment trouver U(n) = .... la forme explicite
J’ai pu trouver une suite avec des valeurs tres proches mais pas égales. Donc pas très utiles

[FerreSucre]

On peut déjà savoir que la forme explicite doit être décroissante et doit avoir comme limite Phi.
J’ai pense au arithmético geo avec q entre [0;1] + Phi
—-) ça donne des valeurs tres proches mais pas égales
, j’ai pensé à une fonction inverse qui serait égal, mais je trouve rien

[mathelot]

1ère methode
La suite est décroissante, minorée par (ou par zéro pour faire simplel
Suite à valeurs réelles, elle est convergente. Que peut on dire de sa limite ?

[FerreSucre]

Je comprends pas trop là, la limite est Phi (Nombre d’or)
Décroissante et sur R ok mais qu’est ce qu’on en fait ?

[mathelot]

Propriété :une suite réelle décroissante minorée est convergente. Sa limite est un point fixe positif vérifiant l'équation x=f(x). Elle converge donc vers phi.

[mathelot]

2eme méthode : connais tu le TAF ? Théorème des accroissements finis ?

[FerreSucre]

Non mais je cherche la forme explicite pas la limite ou autre... y’a une technique pour avoir Un en fonction de n ?

[FerreSucre]

Fin la limite est très utile et la decroissance aussi mais comment les utiliser pour avoir la forme explicite.?

[mathelot]

on va utiliser le théorème des accroissements finis pour trouver une majoration explicite de la suite

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_accroissements_finis


la dérivée f' est décroissante sur l'intervalle

on a:


l'inégalité des accroissements finis nous donne:



par récurrence sur l'entier n , on obtient:


la distance entre et est majorée par une suite géométrique dont le terme général tend rapidement vers zéro.

[FerreSucre]

Ouh c’est intéressant le TAF, faut que je l’apprenne!
Ducoup sa nous donne pas de forme explicite ça nous donne seulement une suite tres proches de Un ?

[mathelot]

oui,

[FerreSucre]

Donc c’est impossible pour ce genre de suite d’avoir une forme explicite exact ?

[mathelot]

je ne saurai pas le démontrer

[FerreSucre]

Ah ok donc c’est bien difficile ! C’est comme
Un² + 1 = Un+1
??

[FerreSucre]

Là c’est peut-être possible de chercher
?
Tel que [tex]V_{n+1} = V_n^{2}
Que l’on sait résoudre ?

[mathelot]

Ah ok donc c’est bien difficile ! C’est comme
Un² + 1 = Un+1
??

par récurrence, on a:

[mathelot]

Donc c’est impossible pour ce genre de suite d’avoir une forme explicite exact ?

On n'a pas besoin de la forme explicite exacte pour étudier les propriétés d'une suite: monotonie,périodicité,convergence,points fixes, attracteurs, ergodicité.. Le plus souvent, on ne peut pas déterminer de formule explicite u(n)=f(n)