Forme indéterminée sur une fonction exponentielle

[Rikku]

Bonjour,

Eh oui, je suis nouvelle et en Terminale S,
et j'avoue que je commence à caler sur certaines choses !
Déjà je suis ravie d'être inscrite ici, car le forum a l'air vivant et je suis également là pour aider les autres (en 1ère S j'avais 18,5 de moyenne en maths).

Donc voilà, j'ai un DM de maths à faire et j'ai cette fonction :
f(x) = exp(x) - x - 1.

Je dois trouver sa limite en +infini.
Bien sûr, cela fait une forme indéterminée car
lim (x->+infini) exp(x) = + infini
et lim (x-> + infini) (-x) = - infini

Et j'ai eu beau factoriser, multiplier par des expressions conjuguées, etc, je n'ai pas réussi à lever l'indétermination.

J'ai pensé à comparer cette fonction à une fonction plus petite (du genre f(x) > u(x) ), laquelle tend vers + l'infini, donc d'après le théorème des comparaisons f(x) tend également vers + l'infini... Mais je n'ai pas trouvé =/.

Si quelqu'un peut me venir en aide... Je serais preneuse ^_^.

Merci d'avance !

[chan79]

Bonsoir
f(x)=x(.....

[Rikku]

J'ai essayé de mettre x en facteur,
ça me donne f(x) = x(exp(x)/x -1 -1/x), mais exp(x)/x est une forme indéterminée =S car quand x tend vers +l'infini exp(x) tend vers + l'infini et j'ai l'infini sur l'infini... et comment exprimer exp(x) en fonction de x, c'est la question =S.

[chan79]

tu as dû voir en cours que la limite de (exp(x))/x en +inf est +inf
"l'exponentielle l'emporte sur la puissance "

[chan79]

http://www.bibmath.net/formulaire/limite2.php3

vois au dessus du dessin à la fin (avec alpha=1)

[Rikku]

Justement, je n'ai pas vu cette limite =S.
J'ai vu lim x-> +infini exp(x) = + infini
lim x-> -infini exp(x) = 0
lim x-> 0 exp(x) -1 / x = 1

Donc c'est pour ça que je ne sais pas faire ^^".
Je dois peut-être le redémontrer...

Et je n'ai pas encore vu les logarithmes =S.

[chan79]

Je ne pense pas que tu aies à démontrer cette limite. Demande à ton prof ou peut-être que quelqu'un aura une idée sur ce site

[Rikku]

Je pense que je demanderais à la prof demain mais j'ai bien regardé sur mon cahier de cours, et je me souviens qu'elle nous a rappelé hier les limites que l'on devait savoir "pour l'instant", y'en avaient trois.

Merci beaucoup ^^.

[lapras]

Tu peux démontrer facilement que e^x >= x + 1
de la il vient
e^(x/2) > x/2
e^(x) > x²/4
(en élevant tout au carré)
donc
e^x / x > x/4
comme lim x/4 = +OO
..........x->+OO
alors e^x/x -> +OO
:happy2:

[chan79]

d'accord avec lapras
ça correspond à
http://xmaths.free.fr/TS/cours/indications.php?nomexo=TSexpodm06

[Rikku]

Je n'ai pas compris pourquoi on avait exp(x) > x+1 =S

[lapras]

C'est simple :
Fait une approximation affine.
Rappel
lorsque h->0
f(x+h) = f(x) + hf'(x)

:happy2:

[Rikku]

Merci, j'ai compris d'où cela venait ^^.
Je ferais part de cette possibilité à ma prof demain,
Et comme ça elle me dira si c'était bien cela ou pas...

Je vous remercie beaucoup =).

[Rikku]

Re !
Alors en fait, il fallait pas faire cette limite (alors que j'ai vu d'autres gens qui parlaient de cet exercice sur le net et qui disaient qu'il la fallait, enfin bon T_T).
Maintenant j'ai un autre petit problème ^^ (juste un, et je sais faire tout le reste du DM, ce qui est pas mal non ? ^^).

Alors voilà.
J'ai cette inégalité : exp(t) >= t+1 (1)
Et cette fonction : k(t) = t^3 / 6 - h(t) avec h(t) = 1-t + t²/2 - exp(t).
J'ai calculé comme ils l'ont demandé k'(t) = t²/2 - exp(-t) - t -1 et k''(t) = exp(-t) + t -1

Ils nous ont demandé de calculer h'(t) et h''(t), ce qui donne h'(t) = exp(-t)+t-1 et h''(t) = 1-exp(-t)

Et de démontrer que h(t) était positive, ça j'ai su le faire.

Maintenant je dois démontrer avec l'inégalité (1) que k''(t) >= 0, ce que je n'arrive pas à faire avec cette inégalité mais simplement en disant que k''(t) = h'(t), et comme j'ai démontré auparavant que h'(t) était positive... =S Je ne vois pas comment utiliser cette inégalité (1) !

[sxmwoody]

bonjour...
avez vous étudié la limite de e^x/x différence de croissances ?
vue la suggestion ci-dessus la solution est alors évidente.