Forme canonique

[swing]

salut a tous, pourriez vous me filer une méthode simple et qui marche à tous les coups pour mettre un polynome du style ax²+bx+c sous forme canonique ? merci

[quinto]

salut a tous, pourriez vous me filer une méthode simple et qui marche à tous les coups pour mettre un polynome du style ax²+bx+c sous forme canonique ?merci

Bonjour,
ici ce que l'on voudrait, ce serait d'avoir ton polynôme comme produit de facteurs (c'est bien ça?).
Dans ce cas, on peut faire une translation bien choisie (changement de variable du type x=u-b/2a)
On regarde ce qui se passe, on a alors
q(u)=p(u-b/2a)=au²-(b²-4ac)/4a

ici sous reserve que (b²-4ac)/4a soit positif (si c'est négatif c'est encore vrai dans C), on a quelque chose de la forme
A²-B² avec A²=au² et B²=(b²-4ac)/4a
A²-B²=(A+B)(A-B)
c'est à dire
q(u)=(sqrt(a)u+sqrt((b²-4ac)/4a))(sqrt(a)u-sqrt((b²-4ac)/4a))
maintenant on fait le changement de variable dans l'autre sens, et on trouve
q(u)=(sqrt(a)(x+b/2a)+sqrt((b²-4ac)/4a))(sqrt(a)(x+b/2a)-sqrt((b²-4ac)/4a))

Ca fait un peu lourd, surtout que ce n'est pas en Latex, mais on peut simplifier un peu mieux.
Note: sqrt(a)=racine carrée de a.
A+

[dilzydils]

On suppose a different de 0,
Pour tt réel x:

ax²+bx+c=a*((x² + 2*b/2a*x + (b/2a)²)-(b/2a)²+c/a) = a*((x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a²)

[quinto]

Je t'ai donné cette méthode parce qu'on ne l'utilise jamais.
Note que l'on utilise souvent la méthode de la complétion du carrée:
On dit qu'il existe u et v tels que
ax²+bx+c=a(x+u)²-v²
et on les cherche
C'est assez facile, en développant à droite on trouve:
a(x²+2ux+u²)-v²=ax²+bx+c

notamment par identification on a
b=2au et c=au²-v² donc u=b/2a et v²=au²-c et donc
v=+ou-sqrt(au²-c)=+ou-sqrt(b²/2a-c)

ax²+bx+c=a(x+b/2a)²-(b²/2a)-c
et même idée ensuite, on se retrouve sous la forme A²-B² que l'on factorise.

[Aldebaran]

Il n'y a pas de méthode particulière pour mettre un polynôme de la forme sous sa forme canonique puisque celle-ci résulte en fait d'un début de factorisation. Mais tu peux toujours retenir ceci :

ou bien entendu !!!

Sauf si on te demande un jour de redémontrer la méthode de factorisation (question assez rare même au niveau de la 1èreS) c'est une formule qui est très pratique... que l'on peut même exploiter avec des élèves de seconde sans problème !

[Alpha]

Salut, au cas où, je vais détailler les choses en Tex :

On a l'équation (que l'on notera (*) par la suite) , où , car si , on est ramené à résoudre .

La première étape consiste à factoriser l'expression par , ce que l'on peut faire puisque .

Il vient



Et l'on s'aperçoit que est le début du développement de . Mais ce n'est pas tout à fait cela.

En effet,

Par conséquent,

(*)





On pose ensuite ,

Et l'on obtient finalement

(*)



C'est la méthode employée pour mettre l'équation de départ sous forme canonique.

Mais il existe des cas triviaux pour lesquels il est inutile de faire toute cette démarche pour mettre sous forme canonique,

par exemple

se met sous la forme canonique suivante :

.

D'une manière générale,
se transforme en .

:happy3:

[Alpha]

Tu peux évidemment aussi prendre le problème en sens inverse :

Si tu connais par coeur la forme canonique, alors il te suffit de le mettre directement sous forme canonique et de calculer . Mais il vaut mieux retenir seulement la méthode pour mettre sous forme canonique, car quand on connait cette méthode, on retrouve extrêmement rapidement cette forme (en une vingtaine de secondes).

:happy3:

[mathador]

(Je sais pas pour vous, mais moi, quand Alpha est comme ça, il me fait vibrer :shock: ) hem ... :ptdr:

[julian]

:ptdr: en tout cas c'est,il me semble,la méthode la plus aproprié pour notre ami swing.Je ne pense pas qu'il y ait plus simple et c'est la première chose que j'ai vu pour la forme canonique.Ma méthode est la même. :zen: