Fonctions

[Maaay]

Bonjour !

Je coince un peu avec un exercice. Le voici :

f(x) = 2ln (x) - 3

1) Ensemble de définition : Je dirais ]0 ; +inf [ car il s'agit d'un ln mais je n'en suis pas sure.

2) Dérivée : Là, j'hésite entre 1/x ou 2/x, mais je pencherais plut^t pour la 1ere solution.

3) On admet que f(x) tend vers +inf quand x tend vers +inf et que f(x) tend vers -inf quand x tend vers 0+

Tableau de variation :

x 0 ? +inf
f'(x) - +
f desend monte


Mon tableau me parait vraiment faux ! J'ai du rater un étape...

4) Résoudre f(x) = 0
Et là, je ne comprends pas parce que la calculette me dit erreur !

[SimonB]

Bonjour,

Tout d'abord, quelque chose de général : en mathématiques, tu ne peux pas hésiter entre deux solutions et nous les proposer. Pour dire quelque chose, il faut en être intimement convaincu. C'est là tout le principe des maths...

1) Ensemble de définition : Je dirais ]0 ; +inf [ car il s'agit d'un ln mais je n'en suis pas sure.

C'est bien ça. C'est une somme de deux termes : 2*ln(x) est bien défini si et seulement si ln(x) est bien défini, et ton cours t'apprend que c'est quand x est strictement positif. -3 est bien défini pour tout x (x n'intervient pas...), donc la somme est bien définie si et seulement si x est strictement positif.

2) Dérivée : Là, j'hésite entre 1/x ou 2/x, mais je pencherais plut^t pour la 1ere solution.

Là encore, on se calme et on se reporte à son cours :
-première constatation : la dérivée d'une somme, c'est la somme des dérivées. Ca doit simplifier l'expression de la dérivée (puisque tu sais ce que donne une fonction constante quand on la dérive).
-deuxième constatation : le terme en 2*ln(x) est un produit : le produit de la fonction constante égale à 2 par la fonction ln. Tu sais dériver un produit de deux fonctions : on dérive la première, et on multiplie par la seconde, puis on dérive la seconde, et on multiplie par la première, et on fait la somme (si on l'écrit mathématiquement : ). Ici, l'expression est plus simple puisque une des deux fonctions est constante, donc de dérivée...

... Et tu en déduis donc l'expression. Que trouves-tu ?

3) On admet que f(x) tend vers +inf quand x tend vers +inf et que f(x) tend vers -inf quand x tend vers 0+

Tableau de variation :

x 0 ? +inf
f'(x) - +
f desend monte

Qu'est-ce que c'est que ce "?"
Il s'agit d'étudier les variations de f. Pour cela, tu sais qu'il te faut étudier le signe de f'.
Vu l'expression de f' que tu as trouvée à la question d'avant, tu devrais pouvoir savoir quand elle est positive et quand elle est négative, et quand elle s'annule...

4) Résoudre f(x) = 0
Et là, je ne comprends pas parce que la calculette me dit erreur !

2ln(x)-3=0 si et seulement si 2ln(x)=3 si et seulement si ln(x)=3/2 si et seulement si...

[Noemi]

Quelle est la dérivée de ln(x) ?
Pour le tableau de variation, étudie le signe de la dérivée.

[cesson]

f(x) = 2ln (x) - 3

donc f'(x) = 2/x - 3 et f'(x) > 0 si et eseulement si 2/x>3 soit 2>3x soit x<2/3

et fx) = 0 pense à l'exponentielle

[Maaay]

Merci pr ton aide !

Alors pr la question 2)
En faisant le produit, je tombe sur 2/x mais je n'en suis pas sure car c'est la première fois que je procède ainsi : 0 x lnx + 2 x 1/x = 2/x

3) Le "?" c'est que je suppose qu'il y a qqc ici mais je ne sais plus comment le trouver. Pourtant, en traçant ma courbe a la calculette, la courbe est tout simplement croissante mais mon énoncé me trouble.

4) 2ln(x)-3=0 si et seulement si 2ln(x)=3 si et seulement si ln(x)=3/2 si et seulement si...

Je comprends ce que tu as fait mais je ne vois pas de suite. Il faut trouver la valeur de x en faisant intervenir les exponentielles ?

[Maaay]

Cesson >> Je ne comprends pas du tout ce que tu as fait. Pourquoi garder le -3 dans la dérivée ? Il est sensé disparaitre, non ?

[remullen2000]

oui il disparait

[cesson]

oui autant pour moi donc f'(x) = 2/x et comme onn a x>0 f' est positive

[Maaay]

Donc f'(x) = 2/x
x>0 donc f'(x) positive

Tableau de variations :

x 0 +inf
f'(x) +
f -inf flèche croissante +inf

C'est bien ça ?


La dernière question bloque toujours : f(x) = 0

SimonB a dit :

2ln(x)-3=0 si et seulement si 2ln(x)=3 si et seulement si ln(x)=3/2 si et seulement si...

Faut il que je trouve la valeur de x ?

[remullen2000]

exponentiel

[Maaay]

ln(x)=3/2
si et seulement si ln(x) = e^(3/2)
x = 3/2

C'est bien ça ?

[remullen2000]

tu es passée a l 'exponentiel a droite sans y passer a gauche..
c comme si tu ecrivais ceci

2=2 donc 2=e^2

[Maaay]

D'accord
Donc ca serait plutôt :

ln(x)=3/2
si et seulement si e^ln(x) = e^(3/2)
x = 3/2

C'est mieux ? :o

[remullen2000]

beaucoup!!

[Maaay]

Et bien super, merci pour votre aide !

[andre40]

:zen: 2ln(x)-3=0eq a ln(x)=3/2 eq a x=exp(3/2)

[SimonB]

D'accord
Donc ca serait plutôt :

ln(x)=3/2
si et seulement si e^ln(x) = e^(3/2)
x = 3/2

C'est mieux ?

NON, ce n'est pas mieux !
ln(x)=3/2 si et seulement si e^ln(x)=e^(3/2)
or e^ln(x)=x donc x=e^(3/2) !

e^(3/2), c'est un nombre !

[Maaay]

Han oui oui pardon !
Je m'en suis bien rendue compte en refaisant mon exercice et j'avais noté e^3/2 en le calculant.

Merci Simon !

[SimonB]

Je t'en prie :)