Soit f une fonction vérifiant pour tout réels x et y : f(x+y)+x+y = [f(x)+x][f(y)+y] ainsi que f(1)=e-1.
1a/ Montrer que pour tout réel t, f(t)+t;)0
b/ Montrer que la fonction f(t)+t ne s'annule jamais.
c/ Montrer que f(0)=1
2a/ Montrer que pour tout réel x et tout entier naturel n, f(nx) = ([f(x)+x]^n)-nx
b/ Montrer que la relation précédente reste vraie si n est un entier relatif.
3a/ Pour tout q entier naturel non nul, calculer f(1/q)+1/q
b/ Montrer que pour tout nombre rationnel x,f(x) = (e^x)-x
4/ On admet que la fonction f est en outre continue.
a/ Montrer que l'égalité précédente reste vraie lorsque x est un nombre réel.
indication : on pourra utiliser le théorème suivant : si (un) est une suite qui converge vers l et si f est une fonction continue, alors la suite (f(u)n) converge vers f(l).
b/ f admet-elle des asymptotes ?
c/ Etudier la fonction f, tracer son graphe. Préciser une inégalité concernant la fonction f.
5/ soit Pn(x) = (1+x)(1+x²)...(1+x^n).
a/ Montrer que pour tout x >0 et different de 1 on a 0
b/ Montrer que la suite de fonctions (Pn), avec n appartenant à N*, est strictement croissante.
c/ Existe-t-il un entier naturel n0 tel que pour tout entier n ;) n0, Pn (2/3)>e² ?
d/ On admet le théorème suivant : toute suite croissante non majorée tend vers +;) et toute suite croissante majorée est convergente.
Quelles sont les limites des suites (Pn(2))et (Pn(2/3)) ?
e/ Illustrer la question d/ a l'aide d'un tableur : expliquer comment procéder.
Voilà, si seulement quelqu'un pouvait m'aider, ça serait très gentil :)