Fonctions Première

[Alosius]

Bonjour ou bonsoir à tous, j'ai un dm à faire pour la semaine prochaine et je bloque sur un exercice, voici son énoncé:

Une entreprise fabrique des voitures électriques qu'elle commercialise. Le coût de fabrication (en milliers d'euros) de q voitures est modélisé par la fonction c (q)= -1/10qe3+2q²-2.1q+21 pour q appartient [0;10]. Une voiture est vendue au prix de 10 000 euros et toutes les voitures fabriquées sont vendues. On s'intéresse au bénéfice de l'entreprise, c''est-à-dire à la différence entre la recette et le coût de fabrication. Lorsque le bénéfice de l'entreprise est positif, on dit que la production est rentable.

1) Etude de la fonction bénéfice

a) Calculer c(0). Le nombre c(0) représente les coûts fixes de l'entreprise
b) Montrer que le bénéfice de l'entreprise s'écrit B(q)=1/10qe3-2q²+12.1q-21
c) A l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, conjecturer le nombre de voitures à produire pour que la production soit rentable

2) Etude algébrique de la fonction B
a) vérifier que 3 est racine de l'expression B(q)
b) Montrer que l'on a B(q)=1/10(q-3)(q²-17q+70) quel que soit q appartient [0;10]
c) En déduire le signe de la fonction B
d) Conclure sur la quantité de voitures à produire pour que la production soit rentable

j'ai fait la question 1) a) dont voici ma réponse: c(0)=-1/10*0e3+2*0²-2.1*0+21
=21

mais ensuite je ne sais pas comment faire la question b), je ne vois pas d'où vient 12.1q et je ne sais pas ce qu'est qu'une recette, Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[titine]

Imagine que pour fabriquer un gâteau tu achètes des oeufs, de la farine, .... et tu payes l'électricité dépensé par ton four. En tout tu évalues que la confection de ton gâteau t'a coûté 4€.
Puis tu le vends 7€.
Au final la fabrication et la vente de ton gâteau t'a rapporté 3€.
Le coût de ton gâteau est 4€.
La recette obtenue en vendant le gâteau est 7€.
Le bénéfice est : 7-4=3€.

Ok ?

Revenons à ton exercice !
Une voiture est vendue 10000€ ou 10 milliers d'euros.
Lorsqu'on vend 2 voitures ont a une recette de 20 milliers d'euros.
Lorsqu'on en vend 3 on a une recette de 30 milliers d'euros.
Lorsqu'on en vend q on a une recette de q*10 milliers = 10q milliers.
Si on appelle R(q) la recette en milliers d'euros obtenue par la vente de q voitures, on a donc R(q) = 10q.
Jusque là ça va ?
Bénéfice = Recette - Coût
Donc :
B(q) = R(q) - C(q) = 10q - (-1/10q³ + 2q² - 2,1q + 21)
= 10q + 1/10q³ - 2q² + 2,1q - 21
= 1/10q³ - 2q² + 12,1q - 21

Dis moi ce que tu ne comprends pas.

[Alosius]

d'accord, en fait je ne comprenais juste pas ce qu'était la recette, par contre à la question 2)a) on demande de calculer la racine de B(q) mais comment calcule t-on la racine d'une fonction cube?

[titine]

Dire que 3 est racine de B(q) signifie que B(3) = 0

[Alosius]

ah, d'accord je pensais qu'il fallait calculer delta

[Alosius]

et, pour la question b), il faut faire un tableau de variations ou quelque chose du genre?

[titine]

et, pour la question b), il faut faire un tableau de variations ou quelque chose du genre?

Il faut développer 1/10(q-3)(q²-17q+70) et vérifier que c'est égal à B(q) c'est à dire à 1/10q³ - 2q² + 12,1q - 21

[Alosius]

ok, du coup pour la dernière question, il faut se servir du tableau de signes de la question précédente ou résoudre 1/10(q-3)(q²-17q+70)>0?

[titine]

On veut étudier le signe de B(q) = 1/10(q-3)(q²-17q+70)
On utilise un tableau de signes :
q (de 0 à 10)
Signe de (q-3)
Signe de (q²-17q+70) (pour cela delta .....)
Signe de B(q)

[Alosius]

oui, je sais ça je l'ai fait et j'ai trouvé le tableau suivant:

q 0 3 7 10
q-3 - + +
q²-17q+70 + + -
B(q) - + -

Mais c'est la question suivante que je ne sais pas faire

[titine]

La production est rentable quand le bénéfice est positif ! (un bénéficie négatif correspondant à un déficit)
Donc quelle est la quantité de voitures à produire pour que ce soit rentable ?

[Alosius]

eh bien, de 3 à 7 mais pourquoi de 7 à 10 devient déficiente?

[titine]

eh bien, de 3 à 7 mais pourquoi de 7 à 10 devient déficiente?

Parce que lorsque cette entreprise fabrique et vend entre 7 et 10 voitures ses coûts de production sont supérieurs à sa recette.