Fonctions , position relative

[leila29200]

bonjour, j'ai un dm et voici la question:
soit u la fonction définie sur R par u(x)=2x^3-3x^2-1
a. déterminer la fonction dérivée u' et dresser le tableau de variation de la fonction u
b. demontrer que l'équation u(x)=0 admet une unique solution s dans R et que 1<s<2
quelquun pourrait maider ?

[esteb35]

Bonjour,

Tout d'abord tu pars d'un polynôme de degré 3 qu'il faut dériver.
Tu as sûrement du voir le formule suivante : (x^n)' = (nx)^n-1
Exemple : (x^2)' = 2x
(A noter que la notation " ' " signifie la dérivée de ce qu'il y a entre parenthèse)
Donc là t'as u(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1
Rien de bien compliqué : tu dérives terme par terme la fonction (A noter que c'est possible de le faire ici puisque c'est une différence de terme dérivable mais c'est pas tout le temps le cas attention, d'où les formules à apprendre par coeur ^^).
Donc tu calcules ton u'(x). Comme par magie tu tombes sur un polynôme de la forme ax^2 + bx
A partir de là, tu as du voir tout ce qui est discriminant (delta = b^2 - 4*a*c)et résolution d'équation du 2nd degré.
Tu résous l'équation et détermine les deux "racines" pour laquelle u'(x) = 0

T'as également du voir que lorsque la dérivée d'une fonction est positive, celle-ci est croissante et inversement, lorsque sa dérivée est négative, celle-ci est décroissante.

Donc tu fais ton tableau de signe de u'(x) (en fonction de la valeur de a on peut déterminer le signe de la fonction entre les 2 valeurs de x pour lesquelles u'(x) = 0. Ici tu remarqueras que a>0 et que donc u'(x) est positif entre tes deux racines).
Et juste en dessous tu vas faire ton tableau de variation de u en fonction du signe de sa dérivée : tu peux rajouter la valeur de u(x1) et u(x2) si tu veux (x1 et x2 c'est le nom donné aux 2 racines ^^).
Et voilà t'as ton tableau de variation ! vérifie avec le graphique de ta calculatrice que tu ne t'es pas trompé ^^

Après la question 2) , il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Il faut que plusieurs conditions soient réunis pour l'appliquer (fonction continue sur |R et donc sur [1;2], changement de signe sur [1;2] ... je te laisse chercher le reste ^^)

J'ai pas la science infuse mais il me semble que c'est la démarche correcte à adopter dans ces cas-là (pour la dérivée j'en suis sûr par contre)
Bonne journée et bonne chance

[leila29200]

merci beaucoup!