Fonctions logarithmes

[Kalissa]

Bonjour,
g(x)=-ln(1-x)-ln(x)-2
Comment montre t-on qu'elle s'annule en deux valeurs b et c ( on ne cherche pas à calculer ses valeurs)? La réponse est simple je présume mais j'ai peur de m'être trompé.
De plus, il faut que je trouve la limite de h(x)=(1-x)ln(1-x)-xln(x) qd x tend vers o puis 1.
Quand x tend vers o je trouve que la limite de h(x) est o. Mais 1 j'arrive pas.
Si vous avez des indications à me donner, n'hésitez pas.

Je vous remercie.

[anima]

Bonjour,
g(x)=-ln(1-x)-ln(x)-2
Comment montre t-on qu'elle s'annule en deux valeurs b et c ( on ne cherche pas à calculer ses valeurs)? La réponse est simple je présume mais j'ai peur de m'être trompé.
De plus, il faut que je trouve la limite de h(x)=(1-x)ln(1-x)-xln(x) qd x tend vers o puis 1.
Quand x tend vers o je trouve que la limite de h(x) est o. Mais 1 j'arrive pas.
Si vous avez des indications à me donner, n'hésitez pas.

Je vous remercie.

-ln(1-x)-ln(x)-2
-(ln(1-x)+ln(x)+ln(e^2))
-(ln(x(1-x)) + ln(e^2))
-(ln(x(1-x)(e^2)))

-(ln(x(1-x)(e^2)))=0 ssi x(1-x)(e^2) = 1. Bingo :zen:

[Liouan]

Pour montrer qu'il y a deux solutions, j'ajouterais une chose:

il n'a pas été prouvé que l'équation x(1-x)(e^2)=1 admet deux solutions, pourtant, il faut le faire, meme si c'est trivial:

tu fais passer le 1 à gauche et tu développes pour te ramener à une équation du second degré:

-(e^2) (x^2) + (e^2) x -1 = 0

discriminant: delta= (e^2)^2-4*(-(e^2))*(-1)= e^4-4*e^2>0 donc tu as bien deux solutions

pour la limite en 1:
là, ça dépend de ce que tu as appris en cours:
soit tu as vu: x*ln(x) ->0 quand x tend vers 0
soit tu as vu: ln(x)/x ->0 quand x tend vers +infini

si tu as vu la premiere: tu poses le changement de variable X=1-x:
x->1 <=> X->0
donc la limite de (1-x) ln (1-x) quand x -> 1 est égale à la limite de X*ln(X) quand X->0
or tu as vu que X*ln(X) tend vers 0 quand X tend vers 0 donc c'est gagné

si tu as vu la deuxieme, tu poses le changement de variable X=1/(1-x)
x-> 1- <=> X-> +infini
donc la limite quand x-> 1- de (x-1) ln (1-x) est égale à la limite de
(1/X)*ln(1/X) quand X-> +infini ce qui vaut la limite de
-(1/X)*ln(X) quand X -> +infini ce qui vaut la limite de
-ln(X)/X quand X -> +infini or tu as vu que ln(X)/X tend vers 0 quand X tend vers + infini donc c'est gagné

Ta limite en un est donc 0

[Kalissa]

J'avé finalement réussi à trouver la limite en 1 et j'avé bien trouvé O.
Sinon pour les 2 solutions à trouver j'été dans la bonne voie mais je bloqué.

Merci beaucoup à vous 2 :we: