Fonctions logarithmes

[Cher93]

Bonsoir tout le monde! Pouvez-vous m’aider à résoudre cet exercice et merci d’avance !
Soit f la fonction definie sur ]0;+l’infi[ par f(x)=(1/4)x^2 +1/(4x^2) -(ln (x))^2

1. Montrer que f(x)=f(1/x) ! ( C’est fait!)
2. Montrer que l’equation f(x)=x admet une solution unique sur ]0,1].( solution x1)
3.Montrer que l’equa f(x)=1/x admet une solution unique sur [1;+l’inf[. (Solution x2)
4. Montrer que x1 .x2=1
5.Determiner un encadrement de x1 d’amplitude 10^-2 (par dichotomie).En deduire un encadrement de x^2.

[Cher93]

PS: f(x) est decroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+linf[

5. Encadrement de x2 (par dichotomie) et en deduire l’encadrement de x1*

[pascal16]

f(x)=x admet une solution unique sur ]0,1].( solution x1)
-> si tu ne l'a pas déjà fait, f(x)-x est sur[0.1; 0.99] continue et strictement monotone : tvi, fini.
-> idem pour x2

4 -> tu dois pouvoir avoir x1x2= ...... =1/(x1x2)

5-> à la calculette ou avec geogebra

[Cher93]

f(x)=x admet une solution unique sur ]0,1].( solution x1)
-> si tu ne l'a pas déjà fait, f(x)-x est sur[0.1; 0.99] continue et strictement monotone : tvi, fini.
-> idem pour x2

cela ne serait-il pas plus difficile non?

[Cher93]

apres avoir calculé f(X)-x je dois calculer la derivée aussi , puis le tableau de signes!
Pas vrai?

[pascal16]

la différence de deux fonctions croissantes : on peut rien dire
la différence d'une fonction décroissante et d'une croissante est décroissante
du coup, pas la peine d'étudier deux dérivée assez dures à étudier car mélangeant du x, 1/x et ln(x)

[Cher93]

Je ne sais pas si la methode à quelle je pense est juste ou pas , mais est-ce qu’on peut raisonner comme ceci?!
f(x) est continue et strictement ... sur ]0,1] or xappartient à f(]0,1]) donc f(x)=x admet une solution unique x1!

[Cher93]

Personne???

[pascal16]

f(x) est continue et strictement ... sur ]0,1] or xappartient à f(]0,1]) donc f(x)=x

f(x)=x-1 est continue, strictement croissante, et f(x)=x ne me semble pas avoir de solution

soit g=f(x)-x
pour appliquer un TVI, il faut
g continue
deux valeurs a et b telles que g(a) et g(b) soient de signe strictement opposés (ou des limites quand on généralise)

pour l'unicité un faut une stricte monotonie